Extension of the caldirola procedure in space

Summary

Based on results known until now of Caldirola’s chronon theory, we present an extension of this theory to the space co-ordinates with the use ofq-representation. First the new momentum operators are defined. These depend on a constant with dimension of length and their commutators with the position operator satisfy noncanonical commutation relations. The eigenfunctions and eigenvalues of the operators are found. We also study with this new extension the problems of free particles and the discrete time-dependent and time-independent Schrödinger equations are found. We next determine the coherent states of the new annihilation operators and finally calculate the Bloch density matrices for both cases&—Caldirola-Montaldi procedure and its new extension. These are noncanonical.

Riassunto

Basandoci sui risultati conosciuti fino ad ora della teoria del tempo di Caldirola, si presenta un’estensione di questa teoria alle coordinate di spazio con l’uso della rappresentazioneq. Per prima cosa si definiscono i nuovi generatori d’impulso. Essi dipendono da una costante con dimensione di lunghezza e i loro commutatori con l’operatore di posizione soddisfano le relazioni di commutazione non canoniche. Si studiano anche con questa nuova estensione i problemi delle particelle libere e si trovano equazioni di Schrödinger dipendenti e indipendenti dal tempo. Si determinano poi gli stati coerenti dei nuovi operatori di annichilazione e infine si calcolano le matrici di densità di Bloch per entrambi i casi—la procedura di Caldirola-Montaldi e la sua nuova estensione. Queste sono non canoniche.

Резюме

Основываясь на известных результатах хрононной теории Калдиролы, мы предлагаем обобщение этой теории на пространственные координаты с использованиемq-представления. Сначала определяются новые операторы импульса. Они зависят от постоянной имеющей размерность длины и их коммутаторы с оператором положения удовлетворяют неканоническим коммутационным соотношениям. Определяются собственные функции и собственные значения. Мы также исследуем с помощью предложенного обобщения проблемы свободных частиц. Получаются уравнения Шредингера, дискретно зависящие от времени и не зависящие от времени. Затем мы определяем когерентные состояния новых операторов аннигиляции. В заключение, мы вычисляем блоховские матрицы плотности для двух случаев: процедуры Кардиролы-Монтальди и предложенного нового обобщения. Эти матрицы не являются каноническими.