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References
Vergl. Clebsch, Ueber die Knotenpunkte der Hesse'schen Fläche etc. Borchardt's Journal Bd. 59, p. 143 ff., auch Gordan Math. Ann. Bd. V, p. 341 ff.
Vergl. Eckardt: Ueber diejenigen Flächen, auf welchen sich drei gerade Linien in einem Punkte schneiden. Programm der Realschule zu Chemnitz 1875; oder Math. Ann.-Bd. X, p. 227 ff.
Vergl. Salmon: On Quarternary Cubics. Phil. Tr. 1860, p. 229 ff.
Eine Ausnahme bilden die Punkte der Pentaederebenen, welchen Ausartungen der Flächen in die dreifachen Pentaederebenen entsprechen, vergl. § 7., wo die Bedeutung dieser Ebenen als trennende Gebiete der verschiedenen Arten angegeben ist.
Vergl. § 11.
Vgl. § 4. am Ende.
Dass man wirklich eine Fläche mit 3 Geraden und 7 Ebenen vor sich hat, erkennt man auch durch ihre Ueberleitung in die Fläche\((\alpha _1 , \alpha _2 , \alpha _3 , \alpha _4 , \infty ),\) diese gehört der angegebenen Art an, wie Herr Eckardt a. a. O. Ueber diejenigen Flächen, auf welchen sich drei gerade Linien in einem Punkte schneiden. Programm der Realschule zu Chemnitz 1875; oder Math. Ann.Bd. X, § 29. bewiesen hat, ein Knoten tritt nicht auf, folglich ist die unserige derselben Art.
Die Möglichkeit der Ueberführung in einander erhellt auch für diese Unterarten aus den § § 12. und 13.
Vergl. Schläfli a. a. O.
Klein a. a. O. § 5.
Vergl. eine Note des § 2.
Vergl. z. B. Sturm: Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung, Cap. 8. Auch Klein a. a. O. § 7. Hier sind die Bilder unserer Flächen die isolirten Doppelcurven.
Vergl. § 10.,p. 79.
Es ist nicht uninteressant, ausgehend von der gefundenen Gleichung der Fläche, das Pentaeder aufzusuchen, welches ohne Schwierigkeit mit Hülfe einiger von Herrn Gordan a. a. O. Math. Ann. Bd. V, p. 341 ff. gegebenen Formeln geschehen kann. Sei\(f = a_x ^3 = \cdots = 0\) die symbolische Darstellung der Gleichung einer Fläche dritter Ordnung, von derem Pentaeder drei Ecken ξ, η, ζ auf einer Kante gegeben seien. Dann sind die drei Ebenen durch die conjugirte Ecke nach § 16, III jener Arbeit:\(a_\xi a_\eta a_x = 0, a_\eta a_\xi a_x = 0,\)
Herr Eckardt findet (a. a. O. Ueber diejenigen Flächen, auf welchen sich drei gerade Linien in einem Punkte schneiden. Programm der Realschule zu Chemnitz 1875; oder Math. Ann.-Bd. X, § 6) irrthümlich auf diesen Flächen einen uniplanaren Punkt, welches daher rührt, dass die drei einfachen Ebenen und die Doppelebene als durch einen Punkt gehend angenommen werden, indem die Identitätx 1 +x 2 +x 3 +x 4=0 als erfüllt angesehen wird. Dann trifft allerdings die angegebene Specialisirung zu. (Vergl. § § 19., 20. der vorliegenden Arbeit.)
Vergl. meine Dissertation § 6.
In gleicher Weise möge stets die Zahl der Einheiten, um welche irgend eine höhere Singularität die Classe erniedrigt, dem bezeichnenden Buchstaben als Zeiger angehängt werden.
Vergl. Schläfli a. a. O., Klein a. a. O. § 3, oder Salmon-Fiedler Raumgeometrie II, Art. 267.
Solche Flächen verlangen jedoch eine weitere Specialisirung des Pentaeders. Vergl. die §§ 12. und 17. dieser Arbeit.
Die Uebergangsflächen mit α2 = ∞ zeigen einen uniplanaren Punkt und diejenigen mit α3 = ∞ sind Regelflächen. Vergl. für die erstern § 19., für die letztern § 18.
Vergl. die Anmerkung auf der folgenden Seite, sowie § 17.
Vergl. Schläfli a. a. O. IX.
Vergl. Eckardt a. a. O. Ueber diejenigen Flächen, auf welchen sich drei gerade Linien in einem Punkte schneiden. Programm der Realschule zu Chemnitz 1875; oder Math. Ann.-Bd. X, § 8.
Vergl. Gordan a. a. O. Math. Ann. Bd. V, § 14.
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Mit 3 lithographirten Tafeln.
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Rodenberg, C. Zur Classification der Flächen dritter Ordnung. Math. Ann. 14, 46–110 (1878). https://doi.org/10.1007/BF02297506
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02297506