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Literatur
E. Sperner: [1] Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. Math. Ann.121, 107 (1949). [2] Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. Sitzgsber. Heidelberger Akad. Wiss., Math.-naturw. Kl.,1949, 413. [3] Konvexität bei Ordnungsfunktionen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg16, 140 (1950). — Über die ersten beiden Arbeiten erschienen Berichte in Arch. Math. Oberwolfach1, 9, 148 (1948). Die vorliegende Arbeit ist so abgefaßt, daß sie unabhängig von denSpernerschen Arbeiten lesbar ist. § 1 ist eine Darstellung der im weiteren Verlauf der Arbeit verwendeten Definitionen und Ergebnisse vonSperner, allerdings in etwas abweichender Form.
Beispiele solcher Anordnungssätze s.Sperner [1] § 4.
Zu dieser Definition vgl.O. Veblen andJ. W. Young, Projective geometry, vol. II. Boston 1918. Ch. IV, undR. Baer, The fundamental theorems of elementary geometry. An axiomatic analysis. Trans. Amer. Math. Soc.56, 94 (1944).
Arnold Schmidt: Die Dualität von Inzidenz und Senkrechtstehen in der absoluten Geometrie. Math. Ann.118, 609 (1943), und eine anschließende Note vonF. Bachmann: Math. Ann.123, (1951).
Vgl.Sperner [1] S. 115ff.
K. Reidemeister: Grundlagen der Geometrie. Berlin 1930. Kap. 6, 7. Vgl. auch die dort zitierte Arbeit vonO. Hölder, Streckenrechnung und projektive Geometrie. Verh. Kgl. Sächs. Ges. Wiss., Math.-phys. Kl.63, 65 (1911).
Wir verwenden den Begriff „Halbordnung“ im Anschluß anSperner [1] § 5, [2] §§ 1 bis 3, [3] S. 142ff. (P. Lorenzen: Über halbgeordnete Gruppen. Math. Z.52, 483 (1950) verwendet den Begriff anders.) Eine nichttriviale (s. S. 294) Halbordnung einer Gruppe ist offenbar nichts anderes als eine Zerlegung der Gruppe in eine Untergruppe vom Index 2 und die zugehörige Nebenklasse, bei der die Elemente der Untergruppe positiv, die der Nebenklasse negativ genannt werden. (Vgl.Sperner [1] S.124, [2] S. 417.)
Zur Theorie der Gruppen-Charaktere vgl. etwaH. Hasse, Zahlentheorie. Berlin 1949. § 5.
Die Transitivitätsregel ist zugleich das (existenzfrei formulierte) Axiom vonPasch; s.Sperner [1] S. 109f. Die Parallelenbedingung ist der ArbeitSperner [3] entnommen; vgl. dort Satz 4. Die Geradenrelation ist vonSperner in [1] S. 113, [2] S. 419, [3] S. 141 eingeführt.
In derSpernerschen Terminologie ist dies eine „abgeleitete Ordnungsfunktion erster Stufe“; vgl.Sperner [1] S. 110, [2] S. 418.
Sperner [1] S. 110, [2] S. 413.
Vgl.Sperner [1] S. 125f., [2] S. 417f., [3] S. 143.
Eine Gruppe von involutorischen Elementen kann als ein Modul mit dem Primkörper der Charakteristik 2 als Operatorenbereich aufgefaßt werden. Die Behauptung ist ein Spezialfall des Satzes über die Existenz einer Basis bei Moduln, die einen Körper als Operatorenbereich besitzen; vgl.H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie I. Leipzig-Berlin 1937, S. 64 ff.
Die Halbordnungen des rationalen Zahlkörpers sind bereits vonSperner [1] S. 127, [2] S. 423 f. angegeben worden.
Sperner [2] S. 436f.
F. Schur: Grundlagen der Geometrie. Leipzig-Berlin 1909, Nr. 44.
Vgl.Baer a. a. O., S. 107ff.
Sperner [1] S. 128f., [2] S. 441ff.
Vgl.Baer a. a. O., S. 109, wo allerdings — 1/k als Orthogonalitätskonstante bezeichnet ist.
Vgl. F. Bachmann: Geometrien mit euklidischer Metrik. Math. Z.51, 752 (1949); Math. Nachr. Berlin1, 258 (1948).
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Bachmann, F., Klingenberg, W. Über SeiteneinteiIungen in affinen und euklidischen Ebenen. Math. Ann. 123, 288–301 (1951). https://doi.org/10.1007/BF02054954
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