This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
Im folgenden benützen wir für die isolierten Komponenten eines Ideals die Definition, die van der Waerden in § 2 der Arbeit: Eine Verallgemeinerung des Bézontschen Theorems [Math. Annalen99 (1928)], gegeben hat. Vgl. auch den Beginn von § 1 des Textes, wo die zum Verständnis unserer Untersuchungen notwendigen Tatsachen über isolierte Komponentenideale kurz zusammengestellt sind.
Vgl. § 1 S. 5 der Arbeit: Krull, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, Sitzungsber. d. Heidelberger Akademe, Math.-Naturw. Klasse, 1928, 3. Abhandl., zitiert mit K. I.
Auf die folgenden Schlüsse, die den Beweis wesentlich abkürzen, machte mich Herr van der Wacrden aufmerksam.
W. II: Beweis des Satzes v. S. 309.
Was die Theorie der eindetigehn additiven zerlegung angeht, so vgl. z. B. die Zusammenstellung in § 3 der Arbeit: E. Noether, Der Diskriminantensatz fur die Ordnungen eines algebraischen Zahl-oder Funktionenkörpers, Journ. f. Math.157 (1926).
Die in § 3 über Multiplikationsringe abgeleiteten Sätze habe ich schon fruber bewiesen, und zwar in den beiden Noten: Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe, Sitzungsber. d. Heidelberger Akademie, math.-naturw. Klasse, 1924, 6. Abhandl.; zitiert mit K. II. Beiträge zur Algebra 3: Über Multiplikationsringe, Sitzungsber. d. Heidelberger Akademie, Math.-naturw. Klasse, 1925, 5. Abhandl.; zitiert mit K. III. Im Text handelt es sich vor allem um die Einordnung dr Multiplikationsringe in die allgemeine Theorie der ganz abgeschlossenen Ringe.
Vgl. K. II § 2, K. III S. 15.
Vgl. K. II § 3, Satz 3.
Vgl. W. II S. 310.
Vgl. K. II S. 15, K. III S. 16 f.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
1) Die vorliegende Note stellt eine Ergänzung zweier kürzlich erschienenen Arbeiten von B. L. van der Waerden dar:
B. L. van der Waerden, Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz abgeschlossenen Ringen, Math. Annalen101 (1929), zitiert mit “W. I”.
B. L. van der Waerden: Zur Idealtheorie der ganz abgeschlossenen Ringe, ebenda, zitiert mit “W. II”.
Vgl. ferner: F. C. Schmidt, Primidealzerlegung für die Hauptideale eines Integritätsbereichs, Sitzungsber. d. Munchner Akademie 1929, wo ohen Beweis der folgende Satz angegeben ist:
In einem beliebigen IntegritätsbereichJ läßt sich dann und nur dann jedes Hauptideal eindeutig als Produkt von Primidealpotenzen darstellen, wenn 1.J ganz abgeschlossen ist, und wenn 2. inJ jede mit einem Hauptideal beginnende Quotientenkette nur endlich viel verschiedene glieder besitzt.
(Die zweite Bedingung ist wesentlich schwächer als der in der vorliegenden Note und in W. I u. W. II vorausgesetzte Noethersche Teilerkettensatz.)
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Krull, W. Über den Aufbau des Nullideals in ganz abgeschlossenen Ringen mit Teilerkettensatz. Math. Ann. 102, 363–369 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01782351
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01782351