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Literatur
Wo im folgenden „additiv” steht, meinen wir „beschränkt additiv”.
Ist Φ definiert im abgeschlossenen BereicheB, welcher aus einem GebieteG hervorgeht durch Hinzufügung seiner Randpunkte, so lassen sich die oberen und unteren Derivierten in einem Randpunkte (x, y) definieren mittels der inB liegenden und (x, y) als Randpunkt enthaltenden Quadrate. Auch die Definition der Stetigkeit in einem Randpunkte läßt sich auf analoge Weise geben.
Siehe z. B. Schlesinger und Pleßner, Lebesguesche Integrale, Nr. 27 oder Carathéodory, Vorles. über reelle Funktionen, § 383, Satz 4.
Die neue Stetigkeitsdefinition in einem inneren Punkte oder Randpunkte eines abgeschlossenen Bereiches läßt sich auf analoge Weise geben.
Siehe z.B. Carathéodory, Reelle Funktionen, §81.
Statt 2. genügt auch:D+Φ [oder D−Φ]ist fast überall Null. — Für den Beweis und für weitere Sätze über additive Intervallfunktionen in der Ebene siehe einen im Nieuw Archief voor Wiskunde (Amsterdam) (2)16, 1 (1929) erschienenen Artikel.
Statt 3. genügt auch:D+Φ [oder D−Φ], ist fast überall Null in G.—Vgl loc. cit. 6) Nieuw Archief voor Wiskunde (Amsterdam) (2)16, 1 (1929) §8.
Siehe für den Beweis des letzten Teiles: Pollard, Proc. of the London Math. Soc. (2)21 (1923), § 8 (B) and (C). Dort wird bewiesen: „Wenn in einem beschränkten GebieteG das Linienintegral einer stetigen Funktionf(z), wobeiz=x+iy, über den Rand eines jeden abgeschlossenen Intervalls verschwindet, so gilt dasselbe über jede einfache, geschlossene, rektifizierbare Kurve inG.” Die Übertragung des Beweises für den im Texte gegebenen, reellen Fall bietet keine Schwierigkeiten.
Siehe z. B. de la Vallée Poussin, Intégrales de Lebesgue, etc. (Coll. Borel), §39.
Siehe z.B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 558 Satz 2.
Vgl. Lichtenstein, Sitzungsber. Berliner Math. Ges. (1910), Satz III und Beweis.
Hieraus folgt Stetigkeit nachx undy von beiden Funktionen inP.
Siehe Lebesgue, Leçons sur l'intégration (Coll. Borel), p. 80.
Siehe z. B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 476, Satz 5.
Diese Bedingung darf man fortlassen, wenn unter 1. (zwei-dimensionale) Stetigkeit vonp undq nachx undy angenommen wird (vgl. §6). Dann ist außerdem das Linienintegral Null über jede einfache geschlossene rektifizierbare Kurve inG. —In der Formulierung des Satzes sind dann auch die MengenE 1 undE 2 zusammenzufassen.
Siehe z. B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 558, Satz 2 und § 557, Satz 1.
Siehe z.B. Hobson, Theory of functions I, § 298.
Nach Carathéodory, Reelle Funktionen, § 527, Satz 4.
Vgl. Lichtenstein, loc. cit. 11) Sitzungsber. Berliner Math. Ges. (1910), Satz III und Beweis Satz IV.
Siehe Fußnote 12)Hieraus folgt Stetigkeit nachx undy von beiden Funktionen inP.
Vgl. für die Herleitung aus dem ersten Satze dieses Paragraphen das Ende von § 7.
Vgl. Rademacher, loc. cit. 21)Math. Zeitschr.4 (1919), SatzII, und Pollard loc. cit. 8) Proc. of the London Math. Soc. (2)21 (1923) § 9. — Ein entsprechender Satz existiert für den reellen Fall.
Siehe z. B. Carathéodory, Reelle Funktionen, § 485, Satz 2.
Vgl. Rademacher, loc. cit. 21)Math. Zeitschr.4 (1919), Satz III.
Eine Verallgemeinerung, welche von Stepanoff gefunden wurde nach dem Verfahren, das im Texte zu Hilfssatz 1 führte, findet man in den Math. Annalen90 (1923).
Das Beispiel entlehnen wir Looman,loc. cit. 34) Nach Montel [Comptes Rendus156 (1913), p. 1820–1822].
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Ridder, J. Über den Cauchyschen Integralsatz für reelle und komplexe Funktionen. Math. Ann. 102, 132–156 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01782339
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01782339