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Literatur
Die meisten Sätze lassen sich so formulieren, daß die Voraussetzung hinreichend häufiger Differenzierbarkeit genügen würde.
Die “stetige Abhängigkeit” wird in Nr. 19 präzisiert werden.
A. Voss, “Über isometrische Flächen, Math. Annalen46 (1895), S. 97; Enzykl. Math. Wiss. III D 6a, S. 362–363.
E. E. Levi, Sulla deformazione delle superficie flessibili ed inestendibili, Atti Accad. Torino43 (1907/08), S. 292. — Neue Darstellung dieser Sätze und Beweise: H. Schilt, Über die isolierten Nullstellen der Flächenkrümmung und einige Verbiegbarkeitssätze, Compos. Math.5 (1937), S. 239; wir zitieren diese Arbeit als “Schilt”.
Beweis: Die zweite Fundamentalform einer positiv gekrümmten Fläche ist definit; für die eine der FlächenF, F′ ist sie positiv, für die andere negativ definit (in bezug auf ein gemeinsames Parametersystem); bei stetiger Verbiegung vonF kann sich aber, da sie immer definit bleibt, ihr Vorzeichen nicht ändern. — Man vgl. auch Schilt, Einleitung,.
Schilt, Nr. 30, Satz XVII und Satz XVIIa.
Schilt, Nr. 29, Satz XVI.
EinFlachpunkt ist ein Punkt, in dem die zweiten FundamentalgrößenL=M=N=0 sind; einen Punkt, in dem zwarLN−M 2=0 ist, also die Krümmung verschwindet,aber nicht L=M=N=0 ist, nennen wirparabolisch. — Wir weichen hierin von der sonst häufigen Terminologie ab, in der alle Punkte mitLN−M 2=0 parabolisch genannt werden.
Schilt, Nr. 27, Satz XIV.
Schilt, Nr. 25, Satz XIIa.
Auch im Falle von Flachpunkten ist die Bedingung aus Satz I nicht hinreichend für die Labilität; die in dem Satz angebene notwendige Bendingung läßt sich nämlich erheblich verschärfen; wir gehen darauf hier aber nicht ein, da wir bisher kein Ergebnis von abschließendem Charakter erhalten haben.
Man vgl. Schilt, Nr. 30, Fußnote 23).
Schilt, 3 Teil.
Satz von Hesse; Beweis z. B. bei Gordan-Kerschensteiner, Vorlesungen uber Invariantentheorie2 (1887), S. 59.
Unter den sonst noch möglichen Festsetzungen verdienen z. B. diejenigen Erwähnung, bei welchen Differenzierbarkeit nacht verlangt wird.
In diesen Sätzen hängt die Schar {F t } sogar analytische vont ab.
Außerdem kann man die Voraussetzung, daß zwischen den FlächenF Isometrien bestehen, durch die viel schwächere ersetzen, daß in dem betrachteten Punktu=v=0 immerK>0 bzw.K=0 bleibt.
Außerdem kann man die vorausgesetzten Isometrien durch Abbildungen ersetzen, bei welchen in dem GebietU lediglich das Vorzeichen der Krümmung ungeändert bleibt.
In diesen Sätzen darf man überdies den Begriff der „Isometrie” durch den allgemeineren der „krümmungstreuen Abbildung” ersetzen.
„f(n) (x, y; t)≢0” bedeutet hier und im folgenden natürlich: „bei festemt nicht identisch 0 inx, y”.
Dies gilt offenbar immer, wenn ϰ ungerade ist.
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Hopf, H., Schilt, H. Über Isometrie und stetige Verbiegung von Flächen. Math. Ann. 116, 58–75 (1939). https://doi.org/10.1007/BF01597348
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01597348