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Literatur
Cohn-Vossen, Die parabolische Kurve, Math. Annalen99 (1928), Dritter Teil.
Darboux, Théorie Générale des SurfacesIII, 1894, S. 162;K 0 ist das Gaußsche Krümmungsmaß fürr=0.
(n) als oberer Index bedeutetn-malige Differentiation nach Φ; statt dessen werden bisweilen auch Striche gemacht.
Verallgemeinerte Rotationsfläche wird hier eine solche Fläche genannt, die durch Rotation einer ebenen Kurve um eine ihrer. Tangenten entsteht, wobai sich gleichzeitig die Tangente um den Berührungspunkt dreht. Die Ebene der rotierenden Kurve soll stets senkrecht zu dem Kegel stehen, der von der sich drohenden Tangente erzeugt wird.
Es ist die Formal gemeint, walche die Krümmungen der Normalsohnitte in einem Flächepunkt aus den beiden Hauptkrümmungen berechnet.
Zwei Kurvenäste überschreiten sich nicht, wenn in der Nähe der gemeinsamen Punkte der eine Ast auf derselben Seite des anderen bleibt; bei glatten Kurven sind die gemeinsamen Punkte dann Berührungspunkte, wenn sie nicht Endpunkte eines Astes sind.
Man kann nach Einführung einer Orientierung auf den beiden Polygonzügen deshalb von aufeinanderfolgenden Doppelpunkten sprechen, weil dieae entweder isoliert liegen oder ganze Stücke des inneren und äußeren Polygen inzidieren; von letzteren zähle man nur die Endpunkte.
Blaschke, Vorl. über Differentialgeom.I (1930), S. 148.
Einen analytischen Beweis hierfür findet man bei Fenchel, Dissertation, Math. Annalen101, S. 251.
FallsP ′ undQ inzidieren, geht der KreisP A P ′ in den die Kurvek inP ′ tangierenden Großkreis über.
Nicht alle Punkte der Kurve sollen Doppelpunkte sein.
Die Innenseite ist die, die von den tangierenden Großkreisen freibleibt; m. a. W.: bei positiver Orientierung der Kurve ist es die linke Seite.
l. c. 9) Einen analytischen Beweis hierfür findet man bei Fenchel, Dissertation, Math. Annalen101, S. 251. S. 240.
Vgl. den Beweis des Satzes, daß durch Krümmung und Windung eine Kurve im Raum, abgesehen von Bewegungen, eindeutig bestimmt ist. Blaschke l. c. 8), S. 36.
c ist eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1/T.
Trittr und Φ als unterer Index auf, so bedeutet dies, wie üblich, die partielle Ableitung.
Blaschke,l. c., S. 33.
Blaschke,l. c., S. 117, Formel 139.
Es sei an dieser Stelle auf die Arbeit von Cohn-Vossen, Fußnote, hingewiesen. In dieser kommt auch der Begriff der Seitenkrümmung einer Fläche mit Spitze vor. Diese Flächen mit Spitzen werden dort durch Approximation von Flächen regulären Linienelements mit einer Rückkehrkante erhalten; die Seitenkrümmung tritt dabei als Grenzwert von Krümmungsgrößen der Rückkehrkanten auf, nicht als geodätische Krümmung der Indikatrix. Aus der dort angegebenen Formel über das Verhalten der Hauptkrümmungen bassen sich die Folgerungen des §7 nicht ohne weiteres ableiten.
Blaschke,l. c., S. 92, Formel 29.
Blaschke,l. c., S. 153.
Diese Fläche muß sich dann nach Satz I selbst durchdringen.
Daß eine Indikatrix der genannten Art existiert und daß für die angegebene Fläche die Voraussetzungen (A) und (B) (s. Einleifung), erfüllt sind, möge sich der Leser selbst überlegen.
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Diese Arbeit ist von der philosophischen Fakultät der Universität Köln als Dissertation angenommen worden.
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Naas, J. Über die Seitenkrümmung. Math. Ann. 113, 48–82 (1937). https://doi.org/10.1007/BF01571622
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