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Über die Extremalen und geodätischen Felder in der Variationsrechnung der mehrfachen Integrale

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Literatur

  1. Clebsch, Crelles Journ.56 (1859), S. 122–148; Hadamard, Bull. Soc. Math. de France30 (1902), S. 253–256;33 (1905), S. 73–80; McShane, Annals of Math.32 (1931), S. 578.—Prange behandelt in seiner Diss. (Gött. 1915) u. a. den Fall zweier unabhängiger und zweier abhängiger Variablen; er bedient sich einer Legendreschen Transformation als Mittel zur Integration der Eulerschen Differentialgleichungen.

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  2. Carathéodory, Acta Szeged4 (1929), S. 193–216.

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  3. Carathéodory. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Leipzig und Berlin 1935.

  4. S. 197ff. Zum ersten Mal hat er ihn in einer Vorlesung über geometrische Optik im Sommer 1934 angegeben.

  5. Für die Definition dieser Begriffe vgl. Abschn. 2 dieser Arbeit.

  6. Kürzlich hat Weyl [Phys. Review46 (1934), S. 505; Annals of Math.36 (1935), S. 607] einen neuen Ansatz gemacht und ebenfalls bis zur Einstellung einer Extremale in ein geodätischs Feld durchgeführt, der sich ebenfalls der Hamilton-Jacobischen Methode bedient und viel einfacher aussieht als der hier vorgetragene. Weyls Formeln sind alle linear wie bei den einfachen Problemen, während bei uns immer Determinanten von linearen Ausdrüeken erscheinen. Aber daher kommt es auch, daß die Weylsche Theorie nicht imstande ist, alle Fragen zu beantworten, die man in der Variationsrechnung stellen kann. DieTransversalität nämlich kann bei den allgemeinen Problemen nur durch nicht-lineare Formeln definiert werden, und damit hängt es zusammen, daß es in der Weylschen Theorie, kurz gesagt, nicht möglich ist, Flächen zu vergleichen, die nicht denselben Rand besitzen

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  7. Lateinische Indizes durchlaufen immer die Zahlen von 1 bisn, griechische die von 1 bis μ.

  8. Totale Ableitungen nach einer Veränderlichen kommen erst im zweiten Kapitel vor und werden dort mit einem Punkt bezeichnet, so daß Verwechslungen nicht zu befürchten sind.

  9. Über jeden in einem Term doppelt vorkommenden Index ist zu summieren.

  10. Wir werden nur μ-fache Integrale betrachten und schreiben daher abkürzend τ...dt statt τ...τdt 1...dt u .

  11. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, S. 197 ff.

  12. Beim Problem der kürzesten Bogenlänge oder des kleinsten Flächeninhalts ist sogar auchF=f.

  13. Vgl. C. Carathéodory, Math. Annalen 86 (1922), S. 272.

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  14. Vgl. das vorige Zitat. Übrigens folgt aus dem Nichtverschwinden dieser Determinante, daß die im vorigen Abschnitt betrachteten zueinander transversalen FlächenelementeP -undP einander nicht berühren.

  15. Ista≠0. so ist auchb≠0; es ist ja, wie man auch direkt zeigen kann,f n a=f μ b.

  16. Vgl. Abschnitt 2.

  17. Der Punkt bedeutet Ableitung nach einem Parameter τ, mit dem wir die Charakteristiken darstellen.

  18. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, 3. Kapitel.

  19. Also—vgl. (11.1)—“transversal zup αi ”, falls die “kleinen” Größen definiert sind.

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Boerner, H. Über die Extremalen und geodätischen Felder in der Variationsrechnung der mehrfachen Integrale. Math. Ann. 112, 187–220 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565414

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