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Literatur
E. Hölder, Zur Theorie der Randwertaufgaben für lineare kanonische Systeme. Jahresber. Deutsch. Math. Ver.45 (1935), S. 126–128 (kursiv).
E. Hölder, Entwicklungssätze aus der Theorie der zweiten Variation. Allgemeine Randbedingungen. Acta math.70 (1939), S. 193–242, insbes. Nr. 3–9. Die aus dieser Arbeit zitierten Formeln sind durch Nummern mit einem Punkt, etwa (1. 3), kenntlich.
G. A. Bliss, A boundary value problem for a system of ordinary differential equations of the first order. Transact. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 561–584.
G. A. Bliss, Definitely self-adjoint boundary value problems. Transact. Amer. Math. Soc.44 (1938), S. 413–428.
W. T. Reid, A system of ordinary linear differential equations with two-point boundary conditions. Transact. Amer. Math. Soc.44 (1938), S. 508–521.
L. Lichtenstein, Zur Variationsrechnung. Erste Mitteilung. Göttinger Nachr. 1919, S. 161–192.
L. Lichtenstein, Zur Analysis der unendlich vielen Variablen. I. Entwicklungssätze der Theorie gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Rendiconti Circ. Mat. Palermo38 (1914), S. 113.
E. Hölder, Reihenentwicklungen aus der Theorie der zweiten Variation. Abh. Math. Seminar Hamburg13 (1939), S. 273–283.
Vgl. O. Hesse, Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl. Leipzig 1876, S. 515 (Zusätze von S. Gundelfinger).
E. Kamke, Über die definiten selbstadjungierten Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen. I, II, III. Math. Zeitschr.45 (1939), S. 759–787;46 (1940), S. 231–250;46 (1940), S. 251–286.
Vgl. C. Carathéodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Leipzig und Berlin 1935, S. 368–369.
Bezüglich der Randbedingungen vgl. namentlich M. Morse, a) The Calculus of variations in the large. Amer. Math. Soc. Coll. Publ.18 (New York 1934), S. 26, sowie insbesondere S. 83–87; für das Lagrangesche Problem M. Morse.
—, Sufficient conditions in the problem of Lagrange with variable end conditions. Amer. Journ. of Math.53 (1931), S. 517–546, insbes. S. 523. An der erstgenannten Stelle, S. 80, erwähnt Morse auch eigene (nicht veröffentlichte) Untersuchungen über die Reduktion auf ein Lagrangesches Problem des “baffling” Falls der allgemeinen selbstadjungierten gewöhnlichen Differentialgleichung 2n-ter Ordnung.
W. T. Reid, A boundary value problem associated with the calculus of variations. Amer. Journ. of Math.54 (1932), S. 76–790, gründet bei den in Frage kommenden kanonischen Systemen (unter gewissen Voraussetzungen) auf die Minimumseigenschaft den Existenzbeweis für die Eigenwerte und hat auch einige Entwicklungssätze.
Von der Möglichkeit dieser Behandlungsweise des allgemeinen Falls machte ich Herrn Kamke bereits in Jena (nach seinem Vortrag am 21. X. 1941) Mitteilung. Seitdem hat auch Herr Kamke mit seiner Methode im allgemeinen Fall (allerdings unter der Voraussetzung, daß alle Eigenwerte ≧0 sind) die Voraussetzungen bezgl. der zugelassenen Funktionen mildern können, vgl. E. Kamke, IV. Abh. der in 10)—. zitierten Reihe, Math. Zeitschr.48 (1942), S. 67–100. [Anmerkung bei der Korrektur.]
Dieser Punkt ist hier näher ausgeführt als bei Reid,—l.cc. 5), S. 514f.
Wegen der hier benutzten algebraischen Tatsachen vgl. O. Schreier u. e. Sperner, Einführung in die analytische Geometrie und Algebra. II. Bd. Leipzig u. Berlin 1935, S. 65, 83.
—l. c. 2), Nr. 3; dort bezog sich der Begriff normale Eigenfunktion (wohlverstanden bei einem anomalen akzessorischen Variationsproblem) stets auf ein Differentialgleichungssystem (z. B. das vereinfachte kanonische System (3. 1) mita i j=δ i j), das nur singuläre — bei jedem μ vorhandene — Eigenfunktionen mitx l ≡0 besaß, wo also kein Teilraums 0 vorhanden war.
E. Hölder, Die Lichtensteinsche Methode für die Entwicklung der zweiten Variation, angewandt auf das Problem von Lagrange. Prace Matematyczno-Fizyczne43 (1935), S. 20ff.
L. Collatz, Genäherte Berechnung von Eigenwerten. Zeitschr. angew. Math. Mech.19 (1929), S. 224–318, insbes. S. 228.
R. Grammel, Ein neues Verfahren zur Lösung technischer Eigenwertprobleme. Ing.-Archiv10 (1939), S. 35–46.
E. Kamke, Weinsteins Einschließungssatz. Math. Zeitschr.45 (1939), S. 788–790.
Kürzer definiert man gleich durch die letzte Formel (61) den ImpulsX j , zeigt (62) und auf Grund von (44), (45) sowie (53), (54) sofort die Differentialgleichung (65). [Anmerkung bei der Korrektur.]
F. Rellich, Störungstheorie der Spektralzerlegung. I. Analytische Störung der isolierten Punkteigenwerte eines beschränkten Operators, Math. Annalen113 (1936), S. 600–619; vgl. auch E. Hölder, Über die Vielfachheiten gestörter Eigenwerte, Math. Annalen113 (1936), S. 620–628.
—l. c. 2), S. 239, (17. 23)12; es fehlt in (17. 23)12 vor {} der Faktor τ.
Für die Differentialgleichung 2n-ter Ordnung vgl. E. Kamke,—l. c. 10). Kamke hat hier, l. c. 10) III, Satz 7, die schärferen Voraussetzungen der engeren Definitheit, >0 in (31) und der KlasseC′,D″, d. h. 2n-malige stetige Differenzierbarkeit der zu entwickelnden Funktionx (t).
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Hölder, E. Einordnung besonderer Eigenwertprobleme in die Eigenwerttheorie kanonischer Differentialgleichungssysteme. Math. Ann. 119, 21–66 (1943). https://doi.org/10.1007/BF01564757
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