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References
Vergl. hierzu: Cantor, Mathem. Ann. Bd. 5, 1872, S. 128 f.; Pasch, Einleitung in die Differential- und Integralrechnung 1882, S. 14 ff., S. 47. — Es schien zweckmässig: “untere und obere Schranke” statt, wie übhch: “untere und obere Grenze” zu sagen und das Wort “Grenze” ausschlicsslich für die anderen Gelegenheiten vorzubehalten.
Vergl. hierzu: Pasch a. a. O. Einleitung in die Differential-und Integralrechnung 1882, S. 47.
Vergl. hierzu: du Bois-Reymond, Freiburger Antrittsprogramm 1870 Art, III: Münchener Abhandlungen Bd. 12, I. Abth. 1876, S. 125; Functionentheorie I. 1882, S. 266.—Statt “untere und obere Unbestimmtheitsgrenze” glaubte ich hier kurz “untere und obere Grenze” sagen zu dürfen.
Nach Scheeffer, Acta Math. Bd. 5, 1884, S. 52; siehe auch Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali 1878, § 145. Die obige Bezeichnungsweise weicht von der Scheeffer'schen etwas ab.
Wenn in einem Intervally endlich und\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) zwischen endlichen Schranken bleibt, so isty daselbst gleichmässig stetig.—Wenny in einem Intervall endlich bleibt, und für jede hinreichend kleine Strecke des Intervalls die Schwankung des Differenzenquotienten beliebig klein wird, so heissty daselbst gleichmässig differentiirbar nach Herrn Kronecker (s. Scheeffer, a. a. O. Acta Math. Bd. 5, 1884, S. 296). Die Derivirte ist dann gleichmässig stetig in dem Intervall, und umgekehrt.
Scheeffer a. a. O. Acta Math. Bd. 5, 1884, S. 63.
Bei einer vonx 1 bisx 2 monotonen Function könneng undG nicht entgegengesetzte Vorzeichen haben, also insbesondere nicht gleichzeitig unendlich sein. Eine Function, welche, wenn das Intervallx 1 x 2 auf geeignete Weise in eine endliche Anzahl von Abschnitten zerlegt wird, in den einzelnen Abschnitten monoton ist, lässt sich in zwei vonx 1 bisx 2 monotone “Componenten” zerlegen (welche stetig sind, wenny stetig verläuft); fallen nun für die eine Componente die beiden Schranken des Differenzenquotienten endlich aus, so ist füry mindestens eine dieser Schranken endlich. Indem man schliesslich die Functioneny−gx undy−Gx betrachtet, ergiebt sich die Zerlegbarkeit vony in zwei monotone (bei stetigemy wieder stetige) Componenten für den Fall, dass mindestens eine der Grösseng, G endlich ist. Siehe Dini a. a. O. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali 1878, § 134; du Bois-Reymond, zur Geschichte der trigonometrischen Reihen 1880, S. 32; Camille Jordan, Comptes rendus T. 92, 1881, S. 228.
Vergl. Pasch a. a. O. Einleitung in die Differential-und Integralrechnung 1882, S. 84. Für den Fall der Stetigkeit s. auch die Betrachtungen von du Bois-Reymond, Mathem. Ann. Bd. 16, 1880, S. 119 und Harnack ebds. Bd. 23, 1884, S. 249.
Demnach ist es im Falle der Stetigkeit vony nicht möglich, dass eine Derivirte beständig=+∞ (oder=−∞) wird; vergl. die Bemerkung von Dini a. a. O. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali 1878, § 135. Und wenn zwischenx 1 undx 2 eine Derivirte bestandig —h ist, alsoh endlich, so isty=hx+Const. vonx 1 bisx 2.
Satz von Dini a. a. O. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali 1878, § 147.
Vergl. hierzu: Dini a. a. O. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali 1878, § 148 (2,3) und § 149 (2); Scheeffer a. a. O. S. 281; auch Harnack, Differential-und Integralrechnung 1881, §§ 21 und 100.
Vergl. hierzu: Pasch a. a. O. Einleitung in die Differential- und Integralrechnung 1882, S. 99 f.
Dass zwei integrirbare Functionen, welche für jedes σ>0 nur in einer unausgedehnten Punktmenge um mehr als σ differiren, dasselbe Integral liefern, hat Herr Harnack ausgesprochen: Mathem. Ann. Bd. 19, 1882, S. 243.
S. die Bemerkung von Herrn Dini a. a. O. Acta Math. Bd. 5, 1884, S. 261 f., wonach zwei integrirbare Functionen, welche in ener überalldichten Punktmenge übereinstimmen, dasselbe Integral liefern, und die Umkehrung daselbst S. 264.
Vergl. hierzu Thomae a. a. O. § 23; Dini a. a. O. Acta Math. Bd. 5, 1884, §§ 192, 193, 197; Harnack, Diff.-und Int.-Rechn. § 147, Mathem. Ann. Bd. 19, 1882, S. 243f.; Pasch a. a. O. Einleitung in die Differential- und Integralrechnung 1882, S. 101.
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Pasch, M. Ueber einige Punkte der Functionentheorie. Math. Ann. 30, 132–154 (1887). https://doi.org/10.1007/BF01564535
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01564535