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References
Für ganzzahligesk vgl. T. J. I'A. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, London 1908, S. 310–318, sowie für ein beliebigesk>−1 S. Chapman, Non-integral orders of summability of series and integrals, Proc. London Math. Soc. II, 9 (1911), S. 369–409.
Chapman, l. c.
Einige der in der vorliegenden Abhandlung entwickelten Resultate wurden unter der (wie aus dem Vorhergehenden ersichtlich ist, überflüssigen) Bedingung, daßf in der Umgebung des betrachteten Punktes (bzw. in einigen Fällen auch am Gegenpol) vonbeschränkter Schwankung sei, von Herrn Chapman abgeleitet: On the general theory of summability, with applications to Fourier's and other series, Quarterly journal of mathematics 43 (1911), S. 1–52, und On the summability of Legendre's series, Math. Ann. 72 (1912), S. 211–227.
Herr Lebesgue hat als erster auf die Bedeutung der entsprechenden Konstanten (im Fallek=0) der Fourierschen Reihe für deren Konvergenzproblem hingewiesen: Leçons sur les séries trigonométriques (Paris, Gauthier-Villars 1906), § 45 (S. 86).
A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme (erste Mitteilung) Math. Ann. 69 (1910), S. 331–371, Kap. I, § 1.
S. Chapman, Non-integral orders of summability of series and integrals, Proc. London Math. Soc. (2) 9 (1911), S. 369–409. Siehe S. 379.
Franz Neumann, Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, Leipzig, B. G. Teubner 1878 (S. 133). Correspondance d'Hermite et de Stieltjes, Paris, Gauthier-Villars 1905, Bd. 2, S. 46. Vgl. auch L. Fejér, Über die Laplacesche Reihe, Math. Ann. 67 (1909), S. 76–109 (S. 100–103).
Nach einem allgemeinen Satze von E. W. Hobson, On the representation of a function by a series of Legendre's functions, Proc. London Math. Soc. II; 7 (1909), S. 24–39, konvergiert die Reihe für −1<x<1, wenn 0<ω<3/4, und fürx=−1, wenn 0<ω<1/2. Nach Fejér l. c. divergiert die Reihe im ganzen Intervalle −1<x<1, wenn 3/4≦ω<1, sowie fürx=−1, wenn 1/2≦ω<1, und fürx=+1 findet offenbar immer Divergenz statt.
Für einen sehr einfachen Beweis dieser Formel vgl. H. Burkhardt, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen und der Entwicklungen nach Kugelfunktionen, Sitzungsberichte d. Bayerischen Ak. d. Wiss. (München) 1909, Nr. 10, S. 1–33.
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Gronwall, T.H. Über die Summierbarkeit der Reihen von Laplace und Legendre. Math. Ann. 75, 321–375 (1914). https://doi.org/10.1007/BF01563729
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01563729