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Literatur
In Lies Kugelgeometrie ist unter diesen vier Fällen tatsächlich nur einer zum Vorschein gekommen. In ähnlicher Weise pflegt man, in der Theorie von Cayleys projektiver Maßbestimmung, sich auf eine Untersuchung der zwei Fälle zu beschränken, die durch Flächen 2. Ordnung der Gleichungsformenx 20 +x 21 +x 22 +x 23 =0,x 20 −x 21 −x 22 −x 23 =0 bestimmt werden, während die dritte, wenn auch nicht physikalisch, so dochmathematisch gleichberechtigte Möglichkeitx 20 +x 21 −x 22 −x 23 =0 gewöhnlich ganz von der Betrachtung ausgeschaltet wird. Zufolge der so entstandenen Gewöhnung ist von Lie und anderen gerade der einfachste Fall nicht beachtet worden, der nämlich, in dem eine Zuordnung von Geraden und “Kugeln” sich schon im Reellen abspielt.
Siehe hier und im folgenden: C. Segre,Un nuovo campo di ricerche geometriche. Atti di Torino 1890.
Wegen dieses Begriffs siehe des Verfassers Abhandlung:Sugli enti analitici. Circolo di Palermo21 (1906).
Das im anderen Halbraum gelegene Spiegelbild unserer Figur entsteht durch Projektion einer anderenM 23 ,y 0 y 1−y 2 y 3−x 24 =0 (Vertauschex 0,x 1,x 2,x 3,x 4 mity 2,y 3,y 0,y 1,y 4).
Die Hermiteschen Mannigfaltigkeiten und die zugehörigen HermiteschenPolarsysteme (antipolarità) sind von C. Segre untersucht worden:Un nuovo campo di ricerche geometriche, Torino 1890. Vgl. auch A. Loewy,Über bilineare Formen mit konjugiert-imaginären Variablen, Nova Acta Leopoldina71 (1898), Nr. 8; und E. Study,Kürzeste Wege im komplexen Gebiet, Math. Ann.60 (1905), (bes. S. 323, 324).
Auch im vorliegenden Falle lassen sich diese 4·∞15 reellen Berührungstransformationen explizite aufstellen. Vgl. Math. Ann.60, S. 323, 324.
Also den reellen Punkten einer Mannigfaltigkeit des Typusx 21 +x 22 −x 23 −x 24 −x 25 −x 26 =0.
Setzt man\(\xi _0 = \frac{{\eta _0 + \eta _1 }}{{\sqrt 2 }},\xi _1 = \frac{{\eta _2 + \eta _3 }}{{\sqrt 2 }},\xi _2 = \frac{{\eta _0 + \eta _1 }}{{\sqrt 2 }},\xi _3 = \frac{{\eta _2 + \eta _3 }}{{\sqrt 2 }},\) so wird\(\xi _0 \bar \xi _2 + \xi _1 \bar \xi _3 + \xi _2 \bar \xi _0 + \xi _2 \bar \xi _1 = \eta _0 \bar \eta _0 - \eta _1 \bar \eta _1 + \eta _2 \bar \eta _2 - \eta _3 \bar \eta _3 .\)
Nach Lies Terminologie sind also diese beiden Gruppen zueinanderreellahnlich.
Diese Grenzlagen sind, nach der üblichen Definition, reell-geradlinig, nach der hier in Betracht kommenden Definition aber nicht.
Diese sind durch sechszehn homogene-Parameter mit bilinearer Zusammensetzung reel-darstellbar. Vgl. Mathem. Zeitschrift18 (1923), S. 81.
Fügen wir auch in diesem Falle noch die ∞15 mit der Hermiteschen Antikorrelation vertauschbaren Transformationen der GruppeΓ 15 hinzu, so erhalten wir alle möglichen Arten der “Zusammensetzung”reeller Transformationsgruppen, die mit der GruppeΓ 15 gleichzusammengesetzt sind. Es gibt ihrer also im ganzen fünf. Die zu den vorigen hier hinzugekommenen Gruppen sind, als Gruppenreeller Transformationen, erst in MannigfaltigkeitenM 5 lebensfähig.
Entsprechend den vier Arten reellerM 24 in einemR 5. Vgl. die Anmerkungen Nr. 90, 91.
Auch im Falle der Charakteristik (2) nicht. Siehe S. 231.
Siehe die Anmerkung 108). Diese sind durch sechszehn homogene-Parameter mit bilinearer Zusammensetzung reell-darstellbar. Vgl. Mathem. Zeitschrift18 (1923), S. 81.
Wegen des Chaslesschen Abbildungsverfahrens siehe J. Coolidge,A Treatise on the Circle and the Sphere (Oxford, 1916), Theorem 6, p. 414.
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Study, E. Über S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln. Math. Ann. 91, 225–248 (1924). https://doi.org/10.1007/BF01556080
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