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Literatur
Math. Annalen116, S. 534–554 und S. 664–700 — im folgenden kurz mit I und II zitiert. — An den erwähnten Voraussetzungen über die Kurve σ sei auch im folgenden immer festgehalten.
Im Raume liegen die Verhältnisse wesentlich anders: Da sehe ich bisher keinen Weg, der ohne Benutzung der Grundrestbelegung einen Zusammenhang zwischen den Randwertproblemen von Innen- und Außenraum herstellt.
Diese Beziehung hat schon C. Neumann, freilich auf einem wesentlich anderen Wege, bewiesen [vgl. Leipz. Ber.62 (1910), Formel (A), S. 154], denn seine „induzierte Belegungy (p) s ” ist eben nichts anderes wie unsere „Greensche Belegung η (p)s ” [vgl. I, S. 541, Anm. 7].
Das folgt aus den Formeln (14) und (16) in I, Math. Annalen116, S. 534–554, S. 541 und 542, wird aber z. B. auch bestätigt durch die Formeln (30) bzw. (30*) daselbst S. 549 und 550.
Wir können also bei diesem Verfahren, auch wenn wir von der Abbildung des Innen- zu der des Außengebietes übergehen, es von vornherein so einrichten, daß ein beliebiger äußerer Punkta (=k) in den Mittelpunkt des Einheitskreises derw-Ebene abgebildet wird, während das oben erwähnte in II, S. 700 angegebene Verfahren ohne Benutzung der Grundrestbelegung uns zunächst nur die „natürliche Abbildung” des Außengebietes lieferte, bei der speziell der Punkt ∞ inw=0 übergeht.
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Neumann, E.R. Inversion und konforme Abbildung von Komplementärgebieten. Math. Ann. 118, 276–285 (1941). https://doi.org/10.1007/BF01487367
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01487367