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Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen

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References

  1. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, 4. Mitteilung, Göttinger Nachrichten (Math. phys. Klasse) 1906, pag. 157 ff.; Hellinger, Inauguraldissertation, Göttingen 1907. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen (Habilitationsschrift), Crelles Journal, Bd. 136. (Diese letztgenannte Abhandlung erschien erst während des Druckes der vorliegenden Arbeit.)

  2. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, 4. Mitteilung, Göttinger Nachrichten (Math. phys. Klasse) 1906, Bd. 66, pag. 273ff.

  3. In den ersten drei Kapiteln seiner Habilitationsschrift, Math. Ann. Bd. 66, pag. 1.

  4. Math. Ann. Bd. 48, pag. 387.

  5. a. a. O., Math. Ann. Bd. 48, pag. 387. Kap. II und III.

  6. Einen Teil der Resultate dieser Arbeit habe ich bereits in den Göttinger Nachrichten 1909, pag. 37 ff., jedoch in weniger allgemeiner Form, veröffentlicht.

  7. Diese Formel ergibt sich mittels der auf lineare Differentialgleichungen bereits von Caqué, L. Fuchs, Poincaré, Günther u. a. angewandten, in allgemeinster Weise aber erst von É. Picard [vergl. Traité d'Analyse (2. Aufl.), Bd. II, pag. 340 ff.] entwickelten Methode der sukzessiven Approximation.

  8. Siehe auch Picard, Traité d'Analyse, Bd. III, pag. 89.

  9. Vergl. die ganz analoge Beziehung für reelle λ in meiner oben erwähnten Nots, Göttinger Nachrichten 1909, pag. 44.

  10. Hilbert, 5. Mitteilung, Göttinger Nachrichten 1906, pag. 460.

  11. Transformiert man die Gleichungsprobleme, welche Hilbert (Gött. Nachr. 1904, pag. 213 ff.), Kneser (Math. Ann. Bd. 58, pag. 81 ff. und Bd.63, pag.477ff.) u. a. untersucht baben, auf das Intervall O...∞, so erhält man stets Gleichungen vom Grenzkreistypus.

  12. Math. Ann. Bd. 66, pag. 276.

  13. Gött. Nachr. 1906, pag. 439 ff.

  14. Hilbert, 5. Mitteilung, Gött. Nachr: 1906, pag. 457. E. Schmidt, Math. Ann. Bd. 63, pag. 452.

  15. Vergl. E. Schmidt, Math. Ann. Bd. 63, pag. 453f.

  16. Diese Definition entspricht der von Herrn Hellinger im Falle quadratischer Formen von unendlichvielen Variablen gegebenen Definition des Streckenspektrums (Dissertation, pag. 22: Crelles Journal, Bd. 136, pag. 242).

  17. Hellinger, Dissertation, pag. 26ff.; Crelles Journal, Bd. 136, pag. 237.

  18. Δ bedeutet zugleich das sich auf dieses Intervall beziehende Differenzsymbol; vgl. Math. Ann. Bd. 66, pag. 288 u. 294.

  19. Zur Rechtfertigung der vorgenommenen Integrationsvertauschung s. Math. Ann. Bd. 66, pag. 286.

  20. Hellinger, Dissertation, pag. 26 und pag. 30.

  21. Oszillationsbetrachtungen für Differentialgleichungen mit Singularitäten findet man namentlich bei Bôcher (Bulletin of the Am. Math. Soc., Okt. 1898, pag. 22 und Transactions of the Am. Math. Soc., Jan. 1900, pag. 40; vergl. auch Encyklopädie

  22. Kneser, Math. Ann. Bd. 42, pag. 415f.

  23. Einen Teil dieses Satzes hat im Fallep(s)≡1 bereits Herr Kneser (Crelles Journal Bd. 117, pag. 84) bewiesen.

  24. Die Hilbschen Voraussetzungen kommen darauf hinaus, daßp(s), q(s) analytische Funktionen einer komplexen Variablens sind, die für alles, deren Realteil eine gewisse negative Grenze übersteigt, regulär sind, absolut unter einer festen Schranke bleiben und eine rein imaginäre Periode, etwa 2πi, besitzen. Unter diesen Umständen konvergierenp(s), q(s) fürs=+∞ je gegen eine feste Grenze, und zwar ebenso stark, wiee −2 gegen 0 konvergiert. Natürlich wird die Grenze, gegen welchep(s) konvergiert, als von 0 verschieden vorausgesetzt. — Neuerdings hat Herr Plancherel (Math. Ann. Bd. 67, pag. 519 ff.) die Gültigkeit der Hilbschen Integraldarstellungen unter beschränkteren Voraussetzungen für die zu entwickelnde Funktionf(s) bewiesen.

  25. Vergl. z. B. Hilbert, Gött. Nachr. 1904, pag. 226.

  26. Derartige Gleichungen sind zuerst von Hilbert (Gött. Nachr. 1906, pag. 473ff.) behandelt worden.

  27. Vergl. Hilb, a. a. O, Kap. IV. B. Hilbert, Gött. Nachr. 1904, pag. 226.

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  1. Göttingen

    Hermann Weyl

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  1. Hermann Weyl
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Weyl, H. Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen. Math. Ann. 68, 220–269 (1910). https://doi.org/10.1007/BF01474161

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