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References
Waring, Meditationes algebraicae, 3. Aufl., Cambridge (1782), S. 349.
Nachrichten v. d. Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen, Mathem.-physik. Klasse, 1909, S. 17–36; sowie Math. Ann.67 (1909), S. 281–300.—Für andere Beweisanordnungen und Vereinfachungen siehe Hausdorff, Math. Ann.,67 (1909), S. 301–305; Stridsberg, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik,6 (1911), Nr. 32 und 39, sowie Math. Ann.,72 (1912), S. 145–152; Remak, Math. Ann.,72 (1912), S. 153–156; Frobenius, Sitzungsberichte d. Kgl. Preuß. Akademie d. Wissenschaften, Berlin, 1912, S. 666–670; E. Schmidt, Math. Ann.74 (1913), S. 271–274. Ein gänzlich anderer Beweis mit viel weiter reichendem Ergebnis ist kürzlich skizziert von den Herren Hardy und Littlewood in The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics48 (1919), Nr. 191 und inzwischen erschienen in den Nachrichten der Kgl. Gesellsehaft d. Wissenschaften zu Göttingen, Mathem.-physik. Klasse, 1920, S. 33–54.
A. a. O., Nachrichten v. d. Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen, Mathem.-physik. Klasse, 1909, S. 350.
Eine präzise Formulierung der Behauptung ist bei Waring nicht vorhanden.
FürN′=0 bedeute die Summe den Wert 0.
Journal de mathématiques pures et appliquées (5)2 (1896), S. 363–380. Maillet beweist tatsächlich etwas mehr als oben angegeben. Er fordert nämlich nur, daßf(x)≧0 für allehinreichend großen x ist (dieser Wortlaut-geht jedoch auch aus dem des Textes unmittelbar hervor), und gibt eine nur vonn abhängende obere Schranke fürN′explizite an; jedoch alles nur fürn≦5.
Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France14 (1813–1815), S. 177–220; oder (Euvres complètes d'Augustin Cauchy (2)6 (1887), S. 320–353.
Le Besgue, Exercices d'analyse numérique, Paris (1859), S. 112 ff.
Dieses sind jedoch nicht die einzigen notwendigen Kongruenzbedingungen.
Dieser Beweis ist eine Abkürzung meines ursprünglichen längeren Beweises auf Grund von Bemerkungen, die ich den Herren Landau und Neder verdanke.
Math. Ann.67 (1909), S. 283, Satz II; zwar ergibt sich aus dem Wortlaut dieses Satzes bei Hilbert noch nicht, daß in den Linearformen rechts die Koeffizienten einer der Veränderlichen, etwa vonx 5, sämtlich ≠0 gewählt werden können; doch wird dieses später (S. 290) ebenfalls bewiesen. Wohl den einfachsten Beweis für die im Text verwendete Identität ergibt die Abhandlung von Hausdorff in den Math. Ann.67 (1909), S. 301–305, wenn in dieser auf S. 304, 3. Zeile, vor „sind” die Worte „und überdies≠0” eingefügt werden. Es werden dann sogaralle b κλ≠0.
Es bezeichneo (Y κ) eine Funktion, die durchY κ dividiert, für,Y→∞ den Limes 0 hat.
Damit ist offenbar unter der Annahme der Richtigkeit des Kernsatzes über die simultane Zerfällung in 1-te,...,n-te Potenzen die Richtigkeit des entsprechenden Satzes (in der zweiten Fassung) über die simultane Zerfällung in 2-te, 4-te, ..., 2n-te Potenzen dargetan.
Fürv=n bedeuteA v+1 A v+2...A n die Zahl 1.
Es sei hier und im folgendenl 0=0.
Für μ=1 bedeute die linke Seiteb 10 X 10.
An die frühere Bedeutung derX μv braucht fürv>0 nicht mehr gedacht zu werden.
Für μ=1 bedeute die linke Seiteb 10 X 10.
Es bedeute nunmehrg 0 die Zahl 1.
An die frühere Bedeutung derX μ braucht nicht mehr gedacht zu werden.
X 2,X 3 hängen natürlich von keinemz v ab, sondern nur vonY.
Es seiz 1=0.
E sei so groß gewählt, daß es ganze ZahlenZ 2, ...,Z 2n gibt, die den Ungleichungen genügen.
Mit Rücksicht auf das Folgende seid 1 so groß, daß für jedesY>d 1 stets ganze ZahlenZ 2, ...,Z 2n vorhanden sind, die den Ungleichungen genügen.
Fürn=2 fällt diese Ungleichung fort.
Fürn=2 fällt diese Bestimmung derl v natürlich fort.
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Dem Andenken an meinen Freund Dr. Detlef Cauer, gefallen am Kemmel-Berg 26.4.1918.
Diese Abhandlung ist von der Philosoph. Fakultät der Universität Göttingen 1919 als Doktor-Dissertation angenommen.
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Kamke, E. Verallgemeinerungen des Waring-Hilbertschen Satzes. Math. Ann. 83, 85–112 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01464230
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01464230