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References
Während der Drucklegung dieses Aufsatzes erschien eine Abhandlung des Herrn E. E. Levi („Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse”. Ann. di Mat. (3) 17 (1910), S. 61), deren Inhalt sich mit dem der vorliegenden manuigfach berührt.
Zu Nr 1-4 vgl. Weierstra\, Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. §§ 1–3 (Abhandl. a. d. Funktionenlehre, S. 107=Werke II, S. 135) sowie Encykl. d. Math. Wiss. II B1, Nr. 42 u. 45. Zu Nr. 5: Hurwitz, Verhandlgn. d. Zür. Kongr., S. 104 und Encykl. II B 1, Nr. 42. (Wegen der Beweise s. a. meinen Bericht, Jahresber. D. M.-V. 16 (1907), S. 235 und 236.) Zu Nr. 6: Weierstraß, Allgemeine Untersuchungen über 2n-fach periodische Funktionen vonn Veränderlichen, Werke III, S. 97–104 sowie Encykl. II. B 1, S. 110–111.
Vgl. Weierstraß, Abh. a. d. Funktionenl., S. 120–125=Werke II, S. 147–151.
Vgl. Weierstraß, Abh. a. d. Funktionenl., S. 113=Werke II, S. 140. (Es handelt sich dort allerdings nur um die Erfüllungeiner derartigen Bedingung; auf demselben Wege lassen sich aber offenbar auch diekn Bedingungen des Textes erfüllen.)
Die gegenteilige Annahme würde, da jede Häufungsstelle von singulären Stellen ebenfalls eine solche ist, unmittelbar zu einem Widerspruche führen. (Direkter Nachweis auch mittels des sog. Heine-Borelschen Theorems, (Schönflies, Punktmannigfaltigkeiten II (1908) S. 77; des Verf. I.-Diss., München 1903, S. 56.)
Wie S. 215, Note *).
„Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen”. Math. Ann. 52 (1899), S. 462.
Math. Annalen 62 (1906), S. 19–20. (Die Anwendung dieses Satzes läßt sich übrigens vermeiden, indem man wie am Schlusse von § 3 verfährt und dementsprechend den in Anm. *) auf S. 222 zitierten [leichter zu beweisenden] Satz zur Anwendung bringt.)
Ist der Bereich T, wie hier angenommen sei, insbesondere so beschaffen, daß er aus allen Punkten (x v ,y) besteht, für welchex v einem gewissen (festen) BereichT v derx v -Ebene (v=1, 2, ...,n), ebensoy einem BereichT dery-Ebene angehört, so läßt sich nach Untersuchungen von Poincaré (Acta Math. 2, 22 und 26) und Cousin (Acta Math. 19) jede in T=(T v ,T) sich rational verhaltende Funktion als Quotient zweier in T regulärer Funktionen darstellen. Nennt man nun den aus T durch Wegnahme eines oder mehrerer analytischer Gebilde (n−1)ter Stufe entstehenden Bereich T′, so folgt dann weiter aus dem im Texte bewiesenen Satze, daß auch jede in T′ sich rational verhaltende Funktion daselbst als Quotient zweier regulärer Funktionen darstellbar sein muß. Ebenso ergibt sich aber auch umgekehrt aus letzterem Satze wiederum leicht derjenige des Textes (nämlich durch bloße Anwendung des Satzes von der Unmöglichkeit isolierter singulärer Stellen, ähnlich wie in Nr. 6 dieses Paragraphen). Wüßte man also bereits, daß auch für ein Gebietvon völlig beliebiger Beschaffenheit (und daher speziell für ein Gebiet von der Form T′) der Satz gilt, daß jede daselbst sich rational verhaltende Funktion als Quotient zweier regulärer Funktionen darstellbar sei, so würde sich hieraus ebenfalls sofort ein Beweis für den Satz des Textes ergeben. Tatsächlich ist jenes aber meines Wissens bisher keineswegs festgestellt worden und auf die Schwierigkeiten, die dem Beweise eines solchen Satzes entgegenstehen würden, habe ich in meinem Stuttgarter Vortrage (Jahresber. D. M.-V. 16 (1907), S. 237–239) aufmerksam gemacht.
Beides ergibt sich mittels des Heine-Borelschen Theorems, vgl. S. 215, Anm. *). Punktmannigfaltigkeiten II (1908)
Siehe meine Abhandlung: „Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mohrerer Veränderlichen”, Münch. Ber. 36 (1906), S. 238, Satz (B) (wobei μ=1, ν=n zu wählen ist; um genaue Übereinstimmung zu erzielen, ersetze man noch den Bereich |x ν|<π des Textes durch ein Gebiet |X v |≦ϱ0, ϱ0 < ϱ).
In der Weierstraßschen Abhandlung: „Untersuchungen über die 2r-fach periodischen Funktionen vonr Veränderlichen” findet sich folgender Ausspruch (J. f. Math. 89, 1880, S. 5 = Werke II, S. 129): „Endlich will ich noch eins erwähnen. Wird aus dem Gebiete vonr komplexen Veränderlichenu 1...u r auf irgend eine Weise ein 2r-fach ausgedehntes Kontinuum ausgeschieden, so lassen sich stets eindeutige Funktionen vonu 1...u r bestimmen, welche sich an allen Stellen im Innern dieses Kontinuums, aber an keiner Stelle seiner Begrenzung wie rationale Funktionen verhalten. Es treten also die wesentlichen singulären Stellen einer eindeutigen Funktion vonr Veränderlichen nicht notwendig vereinzelt auf, sondern es kann vielmehr jedes im Gebietc vonr komplexen Größen mögliche Gebilde der Ort solcher Stellen sein.” Nach den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit kann der erste Teil des Schlußsatzes dahin ergänzt werden, daß fürr>1 wesentlich singuläre Stellen überhaupt niemals vereinzelt auftreten können, während der zweite (als Erläuterung des vorhergehenden Satzes aufzufassende) Teil in dieser Allgemeinheit nicht aufrecht erhalten werden kann.
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Hartogs, F. Über die Bedingungen, unter welchen eine analytische Funktion mehrerer Veränderlichen sich wie eine rationale verhält. Math. Ann. 70, 207–222 (1911). https://doi.org/10.1007/BF01461157
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01461157