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Literatur
Die erste steht Math. Annalen82 (1920), S. 1–39; die zweite geht der gegenwärtigen Arbeit unmittelbar voran.
H. von Koch: Sur les équations différentielles linéaires d'ordre infini. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik16 (1921).
Vgl. die Einleitung der ersten Hilbschen Arbeit.
Um den Vergleich mit der zweiten Hilbschen Arbeit zu erleichtern, habe ich mich ihr in der Bezeichnung möglichst angeschlossen. Doch schien mir eine Indexverschiebung zweckmäßig, derzufolge meineg ν (x), hγ (z), α νγ mit den Hilbscheng ν+1 (x), hγ+1 (z), α ν+1,α+1 identisch werden; außerdem ist meine Anzahln die Hilbsche Anzahln+p.
Es ist nicht ausgeschlossen, daßg ν (x) für alle hinreichend großen ν identisch verschwindet, so daß die Differentialgleichung (1) nur von endlicher Ordnung ist. Auch für Differentialgleichungen endlicher Ordnung sind die Resultate dieser Arbeit neu und nicht trivial.
Diesen Satz hatte ich bei der ursprünglichen (am 22.3. 1921 bei der Redaktion eingegangenen) Fassung meines Manuskriptes als Vermutung ausgesprochen; der Beweis war mir nur mit gewissen Einschränkungen gelungen. Auch Satz 1 hatte ich nur dahin formuliert und bewiesen, daß mindestensn−p und höchstensn Integrale vorhanden sind. Als ich bald darauf den ganzen Beweis beider Sätze fand, habe ich mein Manuskript von der Redaktion zurückerbeten und entsprechend abgeändert. Mittlerweile hatte ich Herrn Hilb von meinem ursprünglichen Manuskript Kenntnis gegeben, und es ist ihm gelungen, durch eine Verschmelzung seiner und meiner Methode gleichzeitig mit mir ans selbe Ziel zu gelangen (vgl. seine dritte Mitteilung). Unsere Beweise der beiden Sätze stimmen in den meisten Zwischenstationen überein; doch werden die einzelnen Teilstrecken auf verschiedenen Wegen durchlaufen. (25. 4. 1921) — Herr von Koch führt a. a. O. statt meiner Hilfsdifferentialgleichung die dazu adjungierte ein. Er gelangt, soviel ich sehe, ebenfalls zum Satz 2, während er an Stelle von Satz 1 nur findet, daß mindestensn−p Integrale vorhanden sind.
Über Summengleichungen und Poincarésche Differenzengleichungen. Dieser Band, S. 1. Der Hilfssatz ist der dortige Satz 2; sein Beweis ist in den § § 1, 3, 4 enthalten, § 2 ist dafür entbehrlich.
Fürp=0 fallen die Gleichungen (9) natürlich weg.
Fallsp=0, istb μν=0 zu setzen.
Fürn=0 hat (10) mitc μ=0 nur die triviale LösungD ν=0. Also gibt es auch keine Integrale der homogenen Differentialgleichung außery=0. Damit ist fürn=0 der Satz 1 bereits bewiesen, da in diesem Fall offenbars=p ist.
Der Fallp=0 erübrigt sich. Denn weil dann offenbar auchs=0 ist, weil außerdem die Gleichungen (9) wegfallen, also keine Bedingungen mehr zu befriedigen sind, ist Satz 1 für diesen Fall durch die vorausgehenden Betrachtungen schon erledigt.
Die Fällen=0 undp=0 erledigen sich wieder ohne weiteres.
Nach Satz 2 meiner Arbeit: “Über diejenigen Integrale linearer Differentialgleichungen, welche sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten”, Math. Annalen70 (1911), S. 1–32. Einen erheblichen Teil meines Beweises hat kürzlich Herr Hilb in einer gleichbetitelten Arbeit wesentlich vereinfacht, Math. Annalen82 (1921), S. 40 und 41.
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Perron, O. Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten. Math. Ann. 84, 31–42 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01458691
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01458691