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Über den asymptotischen Ausdruck von Polynomen, die durch eine Orthogonalitätseigenschaft definiert sind

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Literatur

  1. Erste Mitteilung [Math. Ztschr.6 (1920), S. 167–202]; Zweite Mitteilung [ebenda9 (1921), S. 167–190]. Diese Mitteilungen zitiere ich im folgenden mit A1 und A2.

  2. Im folgenden heißt “fast überall”: mit Ausnahme einer Menge vom Lebesgueschen Maße 0; (L) und (R) heißt: im Lebesgueschen bzw. Riemannschen Sinne.

  3. Math. Ann.82 (1921), S. 188–212. Diese Arbeit zitiere ich im folgenden mit B.

  4. Vgl. B § 6.

  5. Vgl. B § 8.

  6. Vgl. meine Arbeit: Über die Randwerte einer analytischen Funktion. Math. Ann.84, S. 232–244.

  7. Satz XXXII (S. 178).

  8. Vgl. § 12 (S. 170).

  9. Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems. Math. Zeitschr.12, S. 61–94.

  10. A2 § 14.

  11. Vgl. A2, Gleichung (33) auf S. 174.

  12. Vgl. die Fußnote9).

  13. Über trigonometrische Polynome (Journal für die reine und angewandte Mathematik146 (1916), S. 53–82).

  14. Vgl. a. a. O. Vgl. meine Arbeit: Über die Randwerte einer analytischen Funktion. Math. Ann.84, S. 232–244.

  15. D′(f; z) bezeichnet die Ableitung vonD(f;z) nachz.

  16. Istk=0, so gilt diese Gleichung offenbar für allen.

  17. In der Stieltjesschen Theorie betrachtet man wesentlich allgemeiner solche Belegungsfunktionen, die auf der ganzen reellen Achse definiert sind. Dementsprechend werden dann die Integrale, die zur Definition der orthogonalen Polynome dienen, über die ganze reelle Achse erstreckt. Für diesen Fall scheint die hier gebrauchte Methode nicht unmittelbar verwendbar zu sein. Bei einer anderen Gelegenheit gedenke ich noch auf diesen (schwierigeren) Fall zurückzukommen.—Es ist übrigens klar, daß, sobald man sich auf ein endliches Intervall beschränkt, es keine wesentliche Spezialisierung ist, wenn das Intervall −1≦x≦1 betrachtet wird.—Bezüglich der in einemunendlichen Intervall orthogonalen Polynome sei noch folgendes erwähnt. Die asymptotische Untersuchung der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome, die ja in diese Klasse gehören (sie sind orthogonal in bezug auf die Belegungsfunktionene −x, 0≦x<∞ bzw.e −x2, −∞<x<∞) ist bereits durchgeführt, und zwar von Fejér und Perron. Vgl. die folgenden Arbeiten: L. Fejér, Asymptotikus értékek meghatározásáról. Mathematikai és természettudományi értesitó27 (1909), S. 1–33.—O. Perron, Über das infinitäre Verhalten der Koeffizienten einer gewissen Potenzreihe. Archiv der Mathematik und Physik (3)22 (1914), S. 329–340. —Vgl. auch S. Wigert, Contributions à la théorie des polynomes d'Abel-Laguerre. Arkiv för Matematik, Astronomie och. Fysik15 (1921), Nr. 25, S. 1–22.

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  1. Berlin

    G. Szegö

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  1. G. Szegö
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Szegö, G. Über den asymptotischen Ausdruck von Polynomen, die durch eine Orthogonalitätseigenschaft definiert sind. Math. Ann. 86, 114–139 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01458575

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