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Literatur
Das Prinzip der Erhaltung der Anzahl, Leipziger Berichte 1916.
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung26 (1917), S. 176–215.
Die ganze weiterhin abzuleitende Theorie würde sich, ohne größere formale Komplikation, auch ohne Gebrauch spezieller Koordinaten, nämlich mit Hilfe einer trilinearen (quaternären und doppeltbinären) Form(U M) (ls) (rt) durchführen lassen.
Nicht für alle TangentenX derselben Wurzel. Man braucht ein System von vier Quadratwurzeln, die die Produktel 1 r 1,l 1 r 2,l 2 r 1,l 2 r 2 bestimmen, und zu zweien voneinander abhängig sind. ich gehe auf diese Wurzelgrößen, deren Betrachtung bei aller ihrer Einfachheit nicht ohne Interesse ist, vorläufig nicht näher ein, da ihre Erörterung hier noch entbehrt werden kann, und zu sehr von unserem eigentlichen Gegenstande ablenken würde. Im dritten Abschnitt werde ich auf die Sache zurückkommen.
Ähnliche Prozesse kommen in der Literatur vielfach vor. Es fehlt aber dann nicht selten die Einsicht, daß man es mit einem neuen Gebilde zu tun bekommt, und es fehlt dann auch eine brauchbare Terminologie. So schon im Falle der “Normalform der Gleichung einer Ebene”.
Im komplexen Gebiet gilt das Entsprechende nicht allgemein. Dort bilden nämlich die Geraden eine Ausnahme, für die die eingeführte Wurzelgröße den Wert Null hat.
Mutatis mutandis gilt das auch noch im komplexen Gebiete. Eine Ausnahmestellung nehmen jedoch die eben genannten Tangenten ein. Vgl. die vorausgehende Anmerkung.
Nach der Definition von S. Lie (und-anderen) gehört eine Erzougende der. Fliche 2. Ordnung nicht zu den Elementen. Sie ist vielmehr ein “Verein” von unendlich vielen Elementen.
Der Punkt unserer Fläche 2. Ordnung ist eigentlich zu unterscheiden von dem Inbegriff (Verein) der zugehörigen orientierten Elemente. Indeasen wird unsere abkürzende Ausdrucksweise, die für beide Begriffe dasselbe Wort verwendet, kein Mißverständnis hervorrufen können. Das naheliegende WortPunktverein wird besser vermieden, wegen des Anklangs an das Wort Elementverein, das keinen analogen Sinn hat.
Abgesehen natürlich von etwanigen Verzweigungsstellen.
Die analytische Darstellung der automorphen Kollineationen eines nichtsingulären linearen Komplexes ist für das Folgende nicht unerläßlich. Wir sehen von ihr ab, da sie schon für sich allein einen ziemlich umfangreichen Stoff darstellt.
Ich lasse hier diesen Satz als bekannt gelten, obwohl ich nicht weiß, ob man ihn je bewiesen hat. Der Beweis, der übrigens keine Schweirigkeit bietet, fällt aus dem Rahmen unserer sonstigen Betrachtungen heraus. Übrigens bilden diereellen automorphen Kollineationen einesreellen linearen Komplexes zwei getrennte Kontinua.
Nach S. Lie würde sie eine kontinuierliche Gruppe zu nennen sein. Ich halte diese Bezeichnung für unlogisch. Einen ähnlichen Mißgriff würde man begehen, wenn man nur von stetigen Funktionen da sprechen wollte, wo ausschließlich differentüerbare Funktionen gemeint sind. Die Kontinuität, die zudem auch den reellen Transformationen einer analytischen Gruppe fehlen kann (siehe die vorausgehende Anmerkung), sichert noch nicht den analytischen Charakter, auf den es doch auch bei Lie ankommt (Transformationsgruppen I, S. 3).
Bekanntlich kann man mit Hilfe der dem Komplex eingeschriebenen Fünfseite die automorphen Kollineationen des Komplexes leicht konstruiren. — Die Konstantenzahl des Fünfseits im Komplex ist zehn.
Der AusdruckÜbergruppe, der, als entgegengesetzt zuUntergruppe. wohl keiner Erklärung bedarf, ist sonst nicht gebräuchlich, aber bequem. Die dem Geometer interessanten (endlichen und unendlichen) Gruppen sind zumeist die Gruppen der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Bewegungen mit einigen ihrer Untergruppen und gewissen ihrer Übergruppen. — Auf die Theorie der Gruppe aller automorphen Kollineationen einer Fläche 2. Ordnung bezieht sich ein Aufsatz des Verfassers über das Apollonische Problem (Math. Ann.49, 1897, S. 497). Aber dort ist das Raumelement der Punkt.
Ich bezeichne die Gruppe der eigentlich-automorphen Kollineationen mitG *6 , die Schar der uneigentlich-automorphen Kollineationen mitH *6 .
Im Falle der Kugelfläche bedeutet der Schwenkungsprozeß, daß jedes eigentliche orientierte Element um seinen Punkt in bestimmtem “Sinne” durch einen bestimmten Winkel gedreht wird (vgl. Fig. 1). Die Werte ϰ∶λ=±i entsprechen Drehungen durch rechte Winkel (vgl. Fig. 3).
Für die Kugel bedeutet das: Die Winkel (T′,T ″* ) und (T ′* ,T″) haben die Summe Null (mod 2 π). Siehe die beigegebene Figur.
Wegen des Ausnahmefalls siehe weiter unten.
Wegen dieses Begriffs siehe die Abhandlung über Links und Rechts, Archiv der Mathematik und Physik (3) 21 (1913) S. 203.
Math. Annalen49 (1897), S. 497 u. ff.
Die “pseudosphärische Geometrie” wird vielfach verwechselt mit der “hyperbolischen Geometrie”. Siehe des Verfassers Buch “Die realistische Weltansicht und die Lebre vom Raume”, Braunschweig 1914, S. 107.
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Diese Arbeit ist schon im Jahre 1916 der Redaktion der Mathematischen Annalen eingereicht worden. Inzwischen sind verschiedene Arbeiten über den gleichen Gegenstand veröffentlicht worden, diese haben aber die Sachlage nicht geändert. —Neuerdings habe ich das Ganze noch einmal durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.
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Study, E. Über S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln. Math. Ann. 86, 40–77 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01458570
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01458570