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References
Die berührte Frage hängt aufs engste und umkehrbar zusammen mit der Frage nach der reellen Auflösbarkeit der Integralgleichung\(F(x) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } f\left( {\begin{array}{*{20}c} {x + y} \\ 2 \\ \end{array} } \right)f\left( {\begin{array}{*{20}c} {x - y} \\ 2 \\ \end{array} } \right)dy,\) mit der sich C. Runge und Polya beschäftigt haben (vgl. Math. Ann. Bd. 75, S. 130 u. S. 376). Sind nämlichF(x) undf(x) zwei reelle durch die Gleichung (a) verbundene Funktionen, so besteht unter der Voraussetzung der absoluten Konvergenz bei Seiten die weitere Identität\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } F(x)\cos txdx = \left( {\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } f(x)\cos txdx} \right)^2 ,\) deren linke Seite also negative Werte nicht annehmen kann. Eine reelle Lösungf(x), welche ein abs. konvergentes Fourierintegral besitzt, kann also schon bei gegebenemF(x)=e −x 4 nach. I. nicht existieren.
C. R. hebd. d. s. de l'Ac. d. Sc. Paris 158 (1914), S. 1012–1014, vgl. E. Landau, Math. Ann. Bd. 76, Heft 2, S. 218–243.
Serret-Harnack, Bd. II, S. 378.
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Bernstein, F. Über das Fourierintegral\(\mathop \smallint \limits_0^\infty e^{ - x*} \) costxdx . Math. Ann. 79, 265–268 (1918). https://doi.org/10.1007/BF01458208
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01458208