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References
Ein Beweis dieses Satzes findet sich in meiner Dissertation (Sur une classe de séries de Taylor, Upsala 1914, S. 58). Für eine ganze Funktion Ψ(z), die fürn=0, ±1, ±2,... verschwindet, hat ihn Herr Wigert wiedergefunden (Sur un théorème concernant les fonctions entières, Arkiv för Matematik, Bd. 11, 1916, Nr. 21).
Erhardt Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Math. Ann. Bd. 63 (1907). Für das folgende siehe Seite 461–466.
Schmidt a. a. O. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Math. Ann. Bd. 63 (1907), S. 464.
C. Runge, Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Acta math. IV, 1885. Daß die Approximation durch Polynome bei solchen Randkurven, wie wir sie hier betrachten und bei stetigen Randwerten auch auf dem Rande noch gleichmäßig ist, erkennt man tolgendermaßen: Man denke sich die Neumannsche Integralgleichung gelöst; nun ziehe man um das gegebene Gebiet in sehr geringem Abstande eine umschließende Kurve und erzeuge mit der Neumannschen Belegung eine Potentialfunktion, indem man diese Belegung statt auf der wirklichen Randkurve auf der umschließenden Nachbarkurve anbringt. Man zeigt in derselben Weise, in der die Stetigkeit einer durch eine Belegung erzeugten Potentialfunktion bewiesen wird, daß diese Potentialfunktion gleichmäßig in die gesuchte Potentialfunktion übergeht, wenn die umschließende Nachbarkurve sich gleichmäßig der eigentlichen Randkurve nähert. Will man nun eine Funktion auch auf dem Rande mit der vorgegebenen Genauigkeit ε durch Potentialpolynome approximieren, so legt man die Nachbarkurve so nahe, daß die von ihr erzeugte Potentialfunktion sich nur um ε/2 von der zu approximierenden unterscheidet. Diese “Nachbarfunktion” läßt sich nun nach dem Rungeschen Satze gleichmäßig mit der Genauigkeit ε/2 in jedem Gebiet approximieren, das ganz innerhalb der Nachbarkurve liegt, also auch auf der RandkurveR des gegebenen Gebietes. Damit ist offenbar die Approximation der Potentialfunktion gleichmäßig auch mit Einschluß der Begrenzung unseres Gebietes erzielt, w. z. b. w.
C. R. hebd. d. s. de l'Ac. d. Sc. Paris 158 (1914), S. 1012–1014, vgl. E. Landau, Math. Ann. Bd. 76, Heft 2, S. 218–243.
Serret-Harnack, Bd. II, S. 378.
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Carlson, F. Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten. Math. Ann. 79, 237–245 (1918). https://doi.org/10.1007/BF01458206
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01458206