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Literatur
Vgl. die Arbeiten: G. H. Hardy, Asymptotic formulae in combinatory analysis; Comptes rendus du quatrième congrès des mathématiciens scandinaves à Stockholm (1916), S. 45–53.
—, On the expression of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five or seven; Proceedings of the National Academy of Sciences4 (1918), S. 189–193.
—, On the representation of a number as the sum of any number of squares and in particular of five; Transactions of the American Mathematical Society21 (1920), S. 255–284.
G. H. Hardy und S. Ramanujan, Une formule asymptotique pour le nombre des partitions den; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Paris,164 (1917), S. 35–38.
—, Asymptotic formulae in combinatory analysis; Proceedings of the London Mathematical Society (2)17 (1918), S. 75–115.
—, On the coefficients in the expansions of certain modular functions; Proceedings of the Royal Society, London, A95 (1918), S. 144–155.
S. Ramanujan, On certain trigonometrical sums and their application in the theory of numbers; Transactions of the Cambridge Philosophical Society22 (1918), S. 259–276.
G. H. Hardy und J. E. Littlewood, A new solution of Waring's problem; Quarterly Journal of Mathematics48 (1919), S. 272–293.
—, Note on Messrs. Shah and Wilson's paper entitled On an empirical formula connected with Goldbach's theorem; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society19 (1919), S. 245–254.
G. H. Hardy, Some problems of “Partitio Numerorum”, I, A new solution of Waring's problem; Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1920, S. 33–54.
—, Some problems of “Partitio Numerorum”, II, Proof that every large number is the sum of at most 21 biquadrates; Math. Ztschr.9 (1921), S. 14–27.
Der Satz “Jede total positive Zahl eines quadratischen Zahlkörpers ist Summe von vier Quadratzahlen desselben Körpers” ist von E. Landau bewiesen worden in seiner Arbeit: Über die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate; Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1919, S. 392–396. Ich habe mit elementaren Mitteln gezeigt, daß sich jede total positive ganze Zahl eines total reellen Körpers darstellen läßt als Summe solcher Quadratzahlen des Körpers, deren Nenner einem endlichen, nur vom Körper abhängigen Wertevorrat angehören; vgl. meine Abhandlung: Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate; Math. Ztschr. 11 (1921), S. 246–275.
Vgl. E. Hecke, Über dieL-Funktionen und den Dirichletschen Primzahlsatz für einen beliebigen Zahlkörper; Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1917, S. 299–318.
Die Bezeichnung ist der bequemeren Sehreibweise halber etwas anders als in loc. cit. Vgl. E. Hecke, Über dieL-Funktionen und den Dirichletschen Primzahlsatz für einen beliebigen Zahlkörper; Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1917, S. 299–318. und bei E. Hecke, Reziprozitätsgesetz und Gaußsche Summen in quadratischen Zahlkörpern; Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1919, S. 265–278. Diese Arbeit wird im folgenden kurz mit “Hecke, R.” zitiert.
Das allgemeine Glied ist ≠0 nur für μ+ζ>0.
Vgl. Das allgemeine Glied ist ≠0 nur für μ+ζ>0.
Vgl. R. Lipschitz, Untersuchungen der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen; Journal für die reine und angewandte Mathematik105 (1889), S. 127–156.
Wie mir Herr Hecke mitteilt, hat er bei den Untersuchungen über seine Zetafunktionen die Formel (12) ebenfalls gefunden.
Vgl. H. Minkowski, Geometrie der Zahlen; Leipzig und Berlin (B. G. Teubner) 1910; § 37.
Zwei Zahlen ausK heißen inkongruent (mod 1), wenn ihre Differenz nicht ganz ist.
Vgl. Hecke, R.
Vgl. Hecke, R.
Sind a und b zwei Ideale ausK, so bedeutet das Symbol a+b, daß b nicht durch a teilbar ist, also das Gegenteil von a/b. Geht ein Primideal p in b genau zurk-ten Potenz auf, so wird dies (nach Hardy und Littlewood) durch pk/b bezeichnet.
Wegen p+x 1 und (27).
Vgl. Hecke, R.
Vgl. Hecke, R.
Vgl. die Ableitung von (82).
Vgl. die analoge Rechnung in der bei 2) an dritter Stelle zitierten Arbeit von Hardy.
Ist l+v oder l′+v, so sind die Fälle 6. oder 7. auszuschließen.
Vgl. H. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen1, S. 134.
Vgl. z. B. De la Vallée Poussin, Cours d'analyse infinitésimale 2, 2. Aufl., Louvain. Paris (1912), S. 371.
Vgl. z. B. D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper; Jahresbericht der Deutsches Mathematiker-Vereinigung4 (1897), S. 320.
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Diese Arbeit ist ein Abdruck meiner Göttinger Habilitationsschrift.
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Siegel, C.L. Additive Theorie der Zahlkörper. I.. Math. Ann. 87, 1–35 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01458033
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