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Literaturnachweis
Carathéodory: Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, Math. Annalen97, S. 76–98.
Über die Geometrie der analytischen Abbildungen, die durch analytische Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen vermittelt werden, Hamb. Abh.6, S. 96–145.
Kritikos, Über analytische Abbildungen einer Klasse von vierdimensionalen Bereichen, Math. Annalen99, S. 321–341.
Zu gleicher Zeit hat Herr H. Cartan eine größere, demnächst erscheinende Arbeit fertiggestellt: „Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique”. Durch Austausch der Manuskripte habe ich erfahren, daß Herr Cartan mit allerdings ganz anderen Methoden §2 und §3 Satz 1 und 2 vorliegender Arbeit ebenfalls bewiesen hat.
Wir wählen stets den Nullpunkt als Mittelpunkt, was ja keine Einschränkung bedeutet. Zu den obigen Körpern rechnet man meist auch die durch ganze lineare Transformationen aus ihnen entstehenden Bilder. Für alle diese Bereiche gilt natürlich gleichfalls das hier Bewiesene.
K. Reinhardt, Über Abbildungen der analytischen Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Annalen83, S. 254–255, Theorem I und II.
Vgl. H. Behnke, Die Abbildungen der Kreiskörper, Hamb. Abh. 7. Ein allgemeiner Kreiskörper ist ein vierdimensionaler Bereich, der durch alle Ebenenz=cw in konzentrischen Kreisscheiben geschnitten wird. Er läßt also die Transformationen zu:z′=ze ιϑ,w′=we iϑ (ϑ reell). Durch eine ganze lineare Transformation geht ein solcher Körper wieder in einen Kreiskörper über.
Vgl. 3a) Zu gleicher Zeit hat Herr. H. Cartan eine größere, demnächst erscheinende Arbeit fertiggestellt: „Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique”.
UnterAT z(ϑ)A −1 verstehen wir die Hintereinanderausführung der Transformationen in der Reihenfolge von rechts nach links.
Vgl. 6), Die Abbildungen der Kreiskörper, Hamb. Abh. 7. S. 340–341.
Es muß natürlich der Punkt von (0, 0) verschieden sein.
Es folgt weiterhin, daß in diesem FalleK symmetrisch ist.
Normierung siehe § 1.
Hilfssatz 1 ist der sogenannte Fundamentalsatz über assoziierte Konvergenzradien. Siehe auch 15). (Siehe die Arbeiten von Hartogs und Faber, Math. Annalen62 un d61.)
Vgl. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie2 (1924), S. 32, 1. Satz.
Man beachte, daß die Absolutbeträge der zuR gehörigenz- undw-Wertekontinuierlich zwischen zwei Grenzen (0≦|z|≦d 1>0; 0≦|w|≦d 2>0) schwanken.
Siehe 5) Über Abbildungen der analytischen Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Annalen83. Theorem III, S. 255.
Über die Abbildung der Hartogsschen Bereiche siehe auch: H. Welke, Münster, Über die analytischen Abbildungen von Kreiskörpern und Hartogsschen Bereichen, Math. Annalen103.
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Seminar Prof. Behnke.
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Thullen, P. Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskörpern. Math. Ann. 104, 244–259 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457933
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