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Untersuchungen aus der Mengenlehre

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  1. Hinsichtlich der Literatur verweise ich sowohl auf die Originalabhandlungen G. Cantors als auf das zusammenfassende Referat von A. Schönflies, Jahresberichte d. d. Mathvgg. 1900 Bd. 8, H. 2.

  2. G. Cantor, Journ. f. Math. Bd. 84, S. 242.

  3. G. Cantor, Ztschr. f. Philosophie Bd. 91.

  4. E. Schröder, Jahresb. d. d. Mathvgg. Bd. 5 (S. 81).

  5. Vgl. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions. Eine Darstellung meines Beweises findet sich in dem Referat von Schönflies, Jahresb. d. d. Mathvgg. Bd. 8, Hft. 2.

  6. E. Zermelo, Gött. Nachr. 1901, p. 1–5.

  7. Wie Herr Beppo Levi, Intorno alla teoria degli aggregati (Lomb. Ist. Rend. II, 35, p. 863) mit Recht bemerkt, wird hier von dem folgenden Schluß Gebrauch gemacht: Es zerfalle eine MengeA in Teilmengens, von denen nicht zwei ein Element gemein haben; es seiS={s} die Menge dieser Teilmengen. Dann gibt es weingstens eine Teilmenge vonA, welche äquivalentS ist. Über die Bedeutung dieses Schlusses siehe ferner: F. Bernstein, Bemerkung zur Mengenlehre (Gött, Nachr. 1904, pg. 6).

  8. G. Cantor, Grundlage einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.

  9. Math. Ann. Bd. 46 (1895), S. 481.

  10. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.

  11. F. Hausdorff hat in einer Arbeit: “Über eine gewisse Art geordneter Mengen” (Ber. d. k. s. Ges. d. Wiss. Leipzig; Math. Phys. Kl. 1901, p. 460–475) diesen Satz verallgemeinert, indem er ihn für alle “gestuften” Mengen beweist, die ihrem Quadrat äquivalent sind.

  12. Beppo Levi gibt (l. c.) Intorno alla teoria degli aggregati (Lomb. Ist. Rend. II, 35, p. 863) einen Beweis dieses Satzes, bei welchem er unter Benntzung der Maßbestimmung im Kontinuum eine Abbildung vonA aufc eindeutig herstellt, während hier unter alleiniger Benutzung des Ordnungstypus des Kontinuums eime Menge von Abbildungen erhalten werden, unter denen keine ausgezeichnet ist. (Hierüber vgl. F. Bernstein, Bemerkung zur Mengenlehre, Gött. Nachr. 1904, p. 6.)

  13. G. Cantor, Acta Math. Bd. 2.

  14. Baire Ann. di mat. Bd. 3 (1899), S. 67.

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  15. Man bemerkt, daß diese Ableitung auch für beliebige Aleph gültig ist, so daß stets aus\(\begin{gathered} \aleph _v \geqslant \aleph _\mu , \hfill \\ 2\aleph _v = \aleph _\mu ^{\aleph _v } \hfill \\ \end{gathered} \) folgt, was auch ν und μ für Indizes sein mögen. In einer interessanten Arbeit: On the Transfinite Cardinal Numbers of Well-ordered Aggregates (Philos. Mag. VII. 6. Serie (1904), p. 61–74 u. 294–302) hat Herr Ph. Jourdain den gleichen Satz gefunden. Dagegen ist der Satz 1 nicht, wie ich ursprünglich angenommen hatte, für beliebige Aleph beweisbar.

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  1. Halle a./S.

    Felix Bernstein

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  1. Felix Bernstein
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Der gegenwärtige Abdruck meiner Inaugural-Dissertation, die im Jahre 1901 erschienen ist, ist bis auf einige Verbesserungen und Bemerkungen hinsichtlich der seitdem erschienenen Arbeiten, die auf den Gegenstand Bezug haben, eine unveränderte Wiedergabe des bisherigen Textes.

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Bernstein, F. Untersuchungen aus der Mengenlehre. Math. Ann. 61, 117–155 (1905). https://doi.org/10.1007/BF01457734

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