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References
Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Potenzreihe mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten eine rationale Funktion darstellt, so muß die Koeffizientenfolge von einem gewissen Gliede an periodisch werden. Dies ist auch im ausgesprochenen Satze enthalten, aber schon bekannt. Vgl. Landau, Lösung der Aufgabe 1952 (von Laguerre), Nouvelles Annales Bd. 3, 4te Folge (1903), S. 333–336, wo die Koeffizienten zwar alle=+1 oder 0 oder −1 vorausgesetzt werden, aber der Beweis allgemein gilt.
Hadamard, Théorème sur les séries. Acta Math. Bd. 22 (1898), S. 55–64.
Fatou, Séries trigonometriques et séries de Taylor, Acta Math. Bd. 30 (1906). Vgl. S. 400. Hurwitz und Pólya. Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes, Acta Math. Bd. 40 (1916), S. 179–183.
Pólya, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Ann. 77 (1916), S. 497–513.
Wigert, Sur les fonctions entières, Öfversigt af K. Vetenskaps-Akademiens Forhandlingar (1900) S. 1001–1011. Für die Art des Gebrauches vgl. S. 500 meiner vorgenannten Arbeit. Der fragliche Satz wurde übrigens durch Herrn Faber, in seiner Arbeit Über die Fortsetzbarkeit gewisser Taylorscher Reihen, Math. Ann. 57 (1903), unabhängig wiedergefunden.
Vgl. Pólya, Über ganzwertige ganze Funktionen, Rend. del. Circ. Matem. di Palermo, Bd. 40 (1915), S. 6. Ein weitergehendes Resultat befindet sich bei Wigert, Sur un théorème concernant les fonctions entières, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 11 (1916), Nr. 21.
Faton, Sur les séries entières à coefficients entiers, C. R. Bd. 138 (1904, 1. Sem), S. 342–344. Meine Beweissanordnung ergibt zugleich eine Vereinfachung der Fatouschen.
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Pólya, G. Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten. Math. Ann. 78, 286–293 (1917). https://doi.org/10.1007/BF01457105
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01457105