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References
Wie ich von Herrn Koebe erfahre, ist die Bieberbachsche Lösung nicht stichhaltig; der Beweis muß so zu Ende geführt werden, wie dies bei Herrn Koebe geschieht (Abh. zur Theorie der konformen Abbildung III. § 9, J. f. Math.147). Herr Koebe teilte mir noch mit, daß die Behauptung S. 323, Z. 6, daß die dort auftretenden Bögen Kreisbögen seien, i. A. nicht zutrifft. Diesen Bemerkungen des Herrn Koebe hat auch Herr Bieberbach zugestimmt. Ich bemerke, daß die Schlußweise des Herrn Bieberbach für die zweite Grundaufgabe in allen Fällen, wo dieselbe von ihm angewendet wird, der Eckpunktsbedingung zufolge doch beweiskräftig ist.
Beim Carathéodoryschen Spiegelungsverfahren wird dahei die Abbildung eines schlichten, einfach zusammenhängenden Bereiches auf das Kreisinnere als ein Schritt betrachtet.
Siehe die unter 1) angeführte Arbeit von-Herrn Koebe. Ich umgehe diese Schwierigkeiten dadurch, daß ich die Aufgabe in der Form löse, wie sie beim Uniformisierungsverfahren tatsächlich auftritt.
Im folgenden werden die Figuren, welche beim Uniformisierungsverfahren auftreten, genau beschrieben.
Dieser einfachen Bemerkung zufolge, welche ich Herrn Koebe verdanke, gelten unsere Überlegungen auch für die Uniformisierung mit Relativverzweigung.
Carathéodory: Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen Abbildungen, Schwarz-Festschrift.
Vgl. die unter 1)Erste Mitteilung: Math. Annalen87 (1922), S. 66–77. angeführte Arbeit des Herrn Koebe, § 4. Die dritte Heftungsaufgabe von Bieberbach ist ein spezieller Fall dieses Problemes. Er sticht nicht einen Punkt, sondern zwei aus und konstruiert eine logarithmische Überlagerungsfläche. Seine zweite Lösung ist noch komplizierter.
Z. B. die Kugel, der Torus, das analytische Gebilde, die Grenzkreisgruppen usw.
Inzwischen hat Herr Prüfer selbst diese seine Vermutung widerlegt, und zwar durch Angabe einer nicht triangulierbaren stetigen Fläche.
In seiner unter 1)Erste Miheilung: Math. Annalen87 (1922), S. 66–77. angeführten Arbeit operiert Herr Koebe mit Kreisscheiben, er unterläßt es aber, die Konstruktion seiner einfach zusammenhängenden Näherungsbereiche topologisch zu begründen. Eine strenge und einfache Behandlung dieser topologischen Fragen scheint mir erwünscht zu sein.
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Radó, T. Bemerkung zur Arbeit des Herrn Bieberbach: Über die Einordnung des Hauptsatzes der Uniformisierung in die Weierstraßsche Funktionentheorie (Math. Annalen 78). Math. Ann. 90, 30–37 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01456238
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456238