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References
P. Hertz, Versl. akadem. van Wetensch. te Amsterdam, 24. Dez. 1910 (im folgenden als II zitiert), S. 840.
Diese Abhandlung S. 158ff.; P. Hertz, Ann. d. Phys. 33 (1910), S. 225ff. (im folgenden als I zitiert), S. 253 und §§ 7 bis 8; II. S. 834 Anm. 1. Vgl. auch J. W. Gilbs Elementare Grundlagen der statistischen Mechanik, deutsch von Zermelo, Leipzig 1905, S. 176–178.
Auch hierauf kann erst an anderem Orte eingegangen werden; vgl. jedoch I, S. 254.
Vgl. P. u. T. Ehrenfest, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften IV, 2. II (IV, 32) Anm. 124.
Cl. Maxwell, Transactions Cambridge Soc. XII, 3, 1878, S. 554. L. Boltzmann, Gastheorie, II, S. 92. A. Einstein, Ann. d. Phys. 14 (1904), S. 365. P. Hertz, I, S. 239f.
J. W. Gibbs, Elementary principles of stastical mechanics. New-York 1902, Deutsch von Zermelo, Elementare Grundlagen der statistischen Mechanik, Leipzig 1905. Die Seitenzahlen der deutschen Ausgabe werden im folgenden in Klammern beigefügt. Formel 390, S. 122 (123). P. Hertz I, § 5.
J. W. Gibbs, l. c. Elementary principles of stastical mechanics. New-York 1902 S. 171–173 (176–178). P. Hertz, I, S. 253 und § 7–8; Il, S. 834 Anm. 1.
P. Hertz, II, S. 842 Formel 34.
Diese Ableitung stimmt im wesentlichen mit der von A. Einstein gegobeneu überein. Ann. d. Phys. 11 (1903), S. 175.
Über eine Zurückführung dieser Aussage auf eine andere viel plausiblere Behauptung vgl. P. Hertz, II, S. 835.
P. und T. Ehrenfest (l. c. Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften IV, 2 II (IV, 32) Anm. 222.) haben eine früher von mir angewandte Methode (II, Formel 43–46), die kanonische Gesamtheit abzuleiten, mit der Boltzmannschen verglichen und mit Recht auf den zwischen ihnen bestehenden Unterschied aufmerksam gemacht. Man sieht jetzt, daß die damalige Darstellung, welche nur auf die Gleichungen (11) und (12) dieser Abhandlung führen konnte, lückenhaft war, und gar keine Rechenschaft davon zu geben vermochte, weshalb gerade unter den vielen in erster Näherung äquivalenten Ansätzen der exponentielle den Vorzug verdiene. In der Tat spricht für eine solche Wahl nichts, wenn nicht noch besondere Annahmen vom Typus der Gleichungen (15) hinzugefügt werden. Dahingegen ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Koexistierenden, mag nun die reale Raumgesamtheit als die stationäre oder als die zeitlich häufigste definiert werden, ohne weiteres das exponentielle Verteilungsgesetz. Im ersten Fall folgt das z. B. aus den Boltzmannschen Untersuchungen (Gastheorie 2, §§ 37–40), im zweiten Fall u. a. aus der vorliegenden Abhandlung (§ 7).
Über gewisse Schwierigkeiten vgl. jedoch P. Hertz, Il, S. 844ff. Ihre Beseitigung dürfte mit dem Beweise der Gleichungen (15) dieser Abhandlung zusammenhängen.
Gleichung (15), S. 160.
P. Hertz, I, S. 260, Anm. 2.
Eine völlig strenge war leider nicht möglich, a. S. 195 Anm.
Über diesen Begriff vgl. J. W. Gibbs, l. c. Elementary principles of stastical mechanics. New-York 1902 S. 121 (122) A. Einstein, Ann. d. Phys. 9 (1902), S. 420; 11 (1903), S. 174.
Der Ausdruck Konfiguration ist in der statistischen Mechanik schon vergeben (Gibbs, l. c. Elementary principles of stastical mechanics. New-York 1902, S. 5 (3) und 59 (58); P. Hertz, Gött. Nachr. 1912, S. 567), ebenso der Ausdruck Komplexion (vgl. diese Abhandlung S. 183).
J. W. Gibbs § 1. Elementary principles of stastical mechanics. New-York 1902
L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, § 6, S. 38 ff.
L. Boltzmann, l. c. Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, § 6, S. 41 f.
A. Sommerfeld, Boltzmannfestschrift S. 859, sowie die sich in diesen Annalen anschließende Note des Herrn G. Pólya, dem ich für Literaturnachweise und die Mitteilung seiner eigenen Ergebnisse herzlich danke. Ohne sie wäre mir auch diese vorläufige Behandlung des Problems unmöglich gewesen.
Hiermit ist aberdurchaus nicht die Gibbssche Begriffsbildung der kanonischen Gesamtheit gerechtfertigt. Denn in unserem sehr idealisierten Falle liegt eine Gesamtheit isolierter Systeme vor, deren Energie von Null bis zu sehr großen Werten gleichmäßig wächst, und es ist keine Rede von einer Systemhäufung um einen willkürlich gegebenen Energiewert. Um eine solche zu erhalten, müßte man wohl ähnlich verfahren, wie in einer früheren Abhandlung von mir: Amsterdam Ak. Wet. Versl. 11. Jan. 1911, S. 824–848.
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Eine kürzere, übrigens später verfaßte, Darstellung über diesen Gegenstand erschien in den Göttinger Nachrichten 1912.
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Hertz, P. Über die statistische Mechanik der Raumgesamtheit und den Begriff der Komplexion. Math. Ann. 74, 153–203 (1913). https://doi.org/10.1007/BF01456039
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