This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
Die Tangenten müssen eine besondere Lage haben, wenn die Aufgabe nicht widersinnig sein soll. Siehe den weiteren Text und Formeln (10), (11).
Vielfach lassen sich die Lösungen eines endlich-deutigen geometrischen Problemsreinlich den Wurzeln einer algebraischen Gleichung zuordnen, und so gewöhnlich ist dieses Vorkommnis, daß man es zu einem allgemeinen Gesetz—loi—(zu dem Lehrsatz oder “Prinzip” der “Erhaltung der Anzahl”) hat stempeln wollen. Man legte dabei alles Gewicht auf Anwendungen dieses vermeintlichen Gesetzes—die in schier unzähliger Menge gemacht worden sind—und gar keines auf eine präzise Abfassung der Behauptung selbst (siehe z. B. Zeuthen, ArtikelGéométrie énumérative der französischen Enzyklopädie). So kam es, daß man an sehr zahlreichen und wohl bekannten Gegenbeispielentrivialer Art keinen Anstoß genommen hat. Aber natürlich genügen auch diese schon zur Widerlegung (s. Archiv der Mathematik und Physik (3) 8 (1905), S. 271 und Leipziger Berichte 1916, S. 65). Seit dieses geschrieben wurde, hat Herr H. Mohrmann auf einen weiteren sehr schönen, aber ganz anders gearteten Fall aufmerksam gemacht, in dem der richtige Sachverhalt zwar schon bekannt, aber vorher nicht als Gegenbeispiel zu dem Satz von der Erhaltung der Anzahl betrachtet worden war. (Archiv der Mathematik und Physik (3) 27, S. 44).
Siehe Leipz. Ber. 1896, S. 202, 203.
Um hier den Gedankengang. nicht zu unterbrechen, wird die wirkliche Ermittelung der Verhältnisgrößenu:v:w erst spater dargelegt (S. 303).
Siehe die Abhandlung:Die Begriffe Links und Rechts, Windungssinn und Drehungssinn. Archiv für Mathematik (3)21 (1913), S. 193 u. ff.
Man beachte, daß die Wurzeln der Gleichung (2), falls sie reell sind, den Ungleichungen−1≦e 1,e 2,e 3≦1 genügen, wobei noch im Falle a) die Gleichheitszeichen ausgeschlossen sind.
Siehe die zitierte Abhandlung über Links und Rechts, S. 202.
Der Schluß vom Spezialfall auf den allgemeinen Fall ist hier möglich, weil M4 singularitätenfrei ist.
Ich hoffe mich hier deutlich genug ausgedrückt zu haben. Es ist mir nicht unbekannt, daß einzelne Autoren ein solches Operieren mit Differentialen für nicht exakt halten, und es für nötig erachten, die dabei nur angedeuteten Grenzübergänge in jedem einzelnen Falle in Evidenz zu setzen (was natürlich gar keine Schwierigkeit bietet). Ich halte aber dieses Maß von umständlicher Deutlichkeit für überflüssig und etwas pedantisch.
Man beachte, daß nach unseren Definitionen das Hindurchgehen einer analytischen Kurve durch eine singuläre Stelle einer zweiten Kurvenicht als Berührung gilt, solange dort nicht auch die Tangenten beider Kurven übereinstimmen.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
(Dritte Fortsetzung.)
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Study, E. Über S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln. Math. Ann. 89, 298–314 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01455983
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455983