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La curva razionale normale ed i suoi gruppi proiettivi

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  1. Saggi d'una teoria geometrica delle forme binarie [Rendic. Accad. Lincei29 (1920), S. 313–316, 344–346, 398–401;30 (1921), S. 44–48].Nuovi contributi geometrici alla teoria delle forme binarie [Rendic. Ist. Lombardo54 (1921).

  2. Si tratta in sostanza d'una generalizzazione delprincipio di trasporto di Hesse [Ein Übertragungsprinzip, Journ. für Math.66 (1867), S. 15–21], alla quale Klein accenna nel suoProgramma [Ann. di Mat.17 (1889–90), S. 307–343, § 5] e Lie dedica alcune pagine d'un suo trattato [Lie-Scheffers:Vorlesungen über kontinuierliche Gruppen, Leipzig, Teubner 1893, Kap. 23]. Casi particolari eleganti si trovano in Klein,Elementarmathematik, ecc. [Leipzig, Teubner 1911], vol. 1o, Parte 2a, 1, 3, e Brusotti:Sulla curva razionale normale ecc. [Ann. di Mat. (3)9 (1904), S. 311–352]; ma in quest' argomento il lavoro più notevole e più vicino al nostro punto di vista, è l'importante memoria di Fano,Sulle varietà algebriche con un gruppo continuo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè [Memorie Acc. Torino (2)46 (1896), S. 187–218] che, nel seguito, richiameremo più volte, citando il solo nome dell' Autore.

  3. In talune questioni aritmetiche dove non è opportuno prescindere dal fattore di proporzionalità, giova assumere lea i come coordinatenon omogenee di punto in unS n+1. Cfr. Pincherle,Una interpretazione geometrica ed una estensione della divisibilità dei polinomi [Periodico di Mat. (4)1, no 4, S. 276–282].

  4. Cfr. Bertini,Introdueione alla geometria proiettiva degl' iperspari [Pisa, Spoerri, 1907], Cap. 12o, N. 8.

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  5. Cfr. Fano, no 22, Brusotti, loco cit. no 3.

  6. Nella MemoriaSul modello minimo della varietà delle m-ple non ordinate, ecc. [Ann. di Mat. (3)27 (1917), S. 1–40], Bordiga ha dimostrato che il modello minimo per laM n+m (cioè la varietà di minimo ordine che rappresenta le coppie predette senza eccezioni) è dato, almeno per il caso di spazî della stessa dimensione, dalla notavarietà di Segre.

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  7. Cfr. Fano, § 3.

  8. Cfr. Bertini,Introduzione, Cap. 12o, no 19.

  9. Occorrerà naturalmente fissare il ϱ. Nel seguito, quando ciò non possa dar inogó ad inconvenienti porremo addirittura ϱ=1.

  10. Si veda ad es. la dimostrazione di questo téorema (dovuto ad Aronhold) esposta nel trattato di Enriques-Chisini,Teoria geometrica delle equazioni [Bologna, Zanichelli] Vol. 1o, Cap. Io, no 2.

  11. Cfr. Fano, no 11.

  12. Cfr. Fano, no 15, nota 4.

  13. Ibidem, Cfr. Fano, no 15, nota 4.

  14. Ibidem, Cfr. Fano, no 14, nota 4.

  15. Diciamogenerica, giacchè se unaV 3 diW si spezza in più parti, ognuna di queste è, in senso proprio, una traiettoria.

  16. Comunemente questa proposizione si dimostra ricorrendo alla relazione tra grado e peso d'un invariante: alla quale per ora non vogliamo fare appello.

  17. Sappiamo già (no 3) che i punti dij=0 sono imagini delle quaterne armoniche: quelli dii=0 rappresentano invece le quaterne equianarmoniche. Questa notissima proprietà può ad es. dimostrarsi ricorrendo all' espressione (20).

  18. Precisati opportunamente i fattori numerici, questa relazione comunemente si scrive sotto la forma 27d 4=i 3−6j 2.

  19. Cfr. Torelli,Dimostrazione di una formula di de Jonquières, ecc [Rendic. Palermo21 (1906)], formula (1).

  20. Severi,I gruppi neutri con elementi multipli di un' involuzione sopra un ente rasionale [Rendio. Accad. Lincei (5)9 (1900), S. 379–382], formula (2).

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  21. S' intende che il simbolo (ab)k va sviluppato come se fosse relativo ad unaf k di coefficientia o ,a 1,...,a k . Questa avvertenza valga per casi ansloghi che incontreremo di frequente nel seguito.

  22. Perk=n−1 l'inviluppo riducesi alla stellaU contata due volte.

  23. Quest' ordine si determina facilmente con procedimento analogo a quello del no 12.

  24. Per esempio: la molteplicità di un puntoi-plo delG n per i snoi gruppi polari:il teorema di permutabilità nella sua forma più generale: Il gruppo polare misto diO 1,O 2 ,...,O h rispetto ad unG n coincide col gruppo polare misto diO 1,O 2,...,O t rispetto alG n −(n−t), polare diO t+1,...,O k rispetto alG n , lalegge di reciprocità, ecc.

  25. Cfr. Loria,Sulle curve razionali normali in uno spazio a n dimensioni [Giorn. di mat.26 (1888), S. 334–347], no 14.

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  1. Padua, (Italien)

    Annibale Comessatti

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  1. Annibale Comessatti
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Comessatti, A. La curva razionale normale ed i suoi gruppi proiettivi. Math. Ann. 89, 272–297 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01455982

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