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Über Schnitte dern-dimensionalen Euklidischen Räume

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  1. Zusatz bei der Korrektur. Auf dem Boden der kombinatorischen Topologie wurde dieser Funktionalraum von H. Hopf, Math. Annalen104 (1931), S. 637, und von P. Alexandroff,Dimensionstheorie, Math. Annalen106 (1932), S. 161 ff., untersucht.

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  2. Zusatz bei der Korrektur. Es läßt sich aus den tiefliegenden, auf kom. binatorischem Wege erhaltenen Sätzen, die das Hauptresultat des § 5 der oben erwähnten Arbeit von P. Alexandroff (siehe 74. Satz und 81. Hauptsatz 5) Math. Annalen106 bilden, herleiten.

  3. Das Problem:ebene, die Ebene zerschneidende Kontinua auf einem solchen Wege zu charakterisieren, wurde mir von Herrn K. Kuratowski gestellt.

  4. Vgl. L. E. J. Brouwer, Comptes Rendus154 (1912), S. 862 fürn=2 und P. Alexandroff, Comptes Rendus184 (1927), S. 425 fürn≧1, wo unter Benntzung der Kombinatorischen Methode (Bettische Zahlen) sogar die Invarianz derAnzahl der Komplementärgebiete gegeben ist.

    Google Scholar 

  5. Hausdorff,Mengenlehre, S. 227 und 94.

  6. Vgl. meine Note, Fund. Math.17 (1931), S. 153, 2 und 159,15.

  7. Vgl. z. B. Menger,Dimensionstheorie, S. 13–14, „Grundquader”.

  8. Vgl. meine Note, Fund. Math.17 (1931), S. 164, 23.

  9. loc. cit. meine Note, Fund. Math.17 (1931) S. 158, 12.

  10. loc. cit. meine Note, Fund. Math.17 (1931) S. 160,17, Exemple.

  11. Z. B. den Punkt mit lexikographisch kleinsten Koordinaten.

  12. Unter einem durch die Punktep 1,p 2, ...p i+1 vonR n bestimmten Euklidischen Raume wird die kleinste Teilmenge vonR n verstanden, die mit einemR I (wo 0≦l≦n) isometrisch ist.

  13. Vgl. meine Note, Monatsh. f. Math. u. Phys.38 (1931), S. 382.

  14. Es ist zu bemerken, daß man im Falle eines auf der Ebene gegebenen KontinuumsE (also fürn=2) überdies verlangen kann, daßA eine topologische Kreisscheibe sei. Dabei ist natürlich der Gebrauch von Simplexen überflüssig.

  15. Als eine zu einer Kugel vonR n−1 homöomorphe Menge (vgl. Fund. Math.17 (1931), S. 160,17. Exemple).

  16. loc. cit. Als eine zu einer Kugel vonR n−1 homöomorphe Menge (vgl. Fund. Math.17 (1931), S. 157,10.

  17. Im Falle eines KontinuumsE⊂R 2 sind also, auf Grund der Fußnote 12a), Es ist zu bemerken, daß man im Falle eines auf der Ebene gegebenen KontinuumsE (also fürn=2) überdies verlangen kann, daßA eine topologische Kreisscheibe sei. Dabei ist natürlich der Gebrauch von Simplexen überflüssig. die Überlegungen von5. bis10. gänzlich und die von10. teilweise unnötig, weil dieselben nur als Beweis der Erweiterungsfähigkeit der Funktionf vonE auf einen absoluten Retrakt relativ zuK n (n≧2) angegeben wurden.

  18. Vgl. meine Note in Monatsh. f. Math. u. Phys.38 (1931), S. 384 und 385. Der leichte Beweis ist dort mit Hilfe des Brouwerschen Fixpunktsatzes durchgeführt.

  19. Dieses Korollar enthält denqualitativen Inhalt des Brouwer-Alexandroffschen Satzes (loc. cit.).

  20. Auf Grund des allgemeinen Satzes:1st X homöomorph zu X′ und Y zu Y′, so sind die Funktionalräume X Y und X′ Y′ homöomorph. Vgl. meine Note, Fund. Math.17 (1931), S. 167,3.

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  1. Warschau

    Karol Borsuk

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  1. Karol Borsuk
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Borsuk, K. Über Schnitte dern-dimensionalen Euklidischen Räume. Math. Ann. 106, 239–248 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455885

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