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References
K. Menger, Untersuchungen über allgemeine Metrik, Math. Annalen100, S. 103–113.
Minkowski, Geometrie der Zahlen, Leipzig 1913, § 1.
Zusatz bei der Korrektur: Aus einer späteren Arbeit über zweidimensionale Geradenräume wird hervorgehen, wie man diese geometrische Forderung durch gewisse Konvexitätseigenschaften der Entfernungsfunktion ersetzen kann.
Diese Ausdrucksweise stammt von K. Menger, Über geodätische Linien in allgemeinen metrischen Räumen, Proc. Ac. Amsterdam29 (1926), S. 166.
Angeführt bei Menger, Untersuchungen über allgemeine Metrik, Math. Annalen100, S. 114.
Hausdorff, Mengenlehre, 2. Aufl., 1928, S. 146.
Sindm undn zwei Punktmengen, so bezeichnetr(m, n) die untere Grenze vonr(x, y), wennx die Mengem undy unabhängig davonn durchläuft.
E n bedeutet denn-dimensionalen Zahlenraum.
Siehe: Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig 1930, S. 3–5, 11, 12, 30.
„lim sup” bedeutet den oberen abgeschlossenen Limes (vgl. Hausdorff, Mengenlehre, 2. Aufl., 1928, S. 146).
In der demnächst in den Math. Annalen erscheinenden Arbeit: Dimensionstheorie.
Für mehr als zwei Mengenm,n gilt dieselbe Schlußweise.
Ein PunktP⊂β, für denr(M, P)=r(M, β) gilt, heißt ein Fußpunkt vonM auf β.
Wenn man hier die Benutzung des Paschschen Axioms umgehen will, braucht man nur ausk eine solche einem gewöhnlichen Kreis homöomorphe Teilmenge auszuwählen, die mit jedem Punkt auch den “diametralen” enthält.
Über Geometrien, bei denen die Geraden die Kürzesten sind, Math. Annalen101, S. 235.
Vgl. z. B. F. Schur, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1909, § 2.
Siehe Veblen and Young, Projective Geometry1, 2. Aufl., New York 1916, S. 191.
Minkowski, Geometrie der Zahlen, Leipzig 1913, § 1.
Monographs on topics of modern mathematics relevant to the elementary field, herausg. von J. W. A. Young, New York 1911, S. 30.
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Busemann, H. Über die Geometrien, in denen die „Kreise mit unendlichem Radius” die kürzesten Linien sind. Math. Ann. 106, 140–160 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455883
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455883