Zusammenfassung
U undV seien zwei Abelsche Gruppen mit endlich-vielen Erzeugenden,M eine (endliche oder unendliche) zyklische Gruppe. Die GruppenU undV bilden einGruppenpaar in bezug aufM, wenn je zwei Elementenu undv vonU bzw.V ein Elementm vonM, dasProdukt der beiden Elementeu undv, zugeordnet ist und dabei die Distributivgesetze in bezug auf die Addition (als Gruppenverknüpfung inU undV), d. h. die Relationen (u 1+u 2)·v=u 1·v+u 2·v undu·(v 1+v 2)=u·v 1+u·v 2 gelten. Das GruppenpaarU, V heißtprimitiv, wenn zu jedem von Null verschiedenen Element der einen Gruppe ein solches Element der zweiten gefunden werden kann, daß das Produkt der beiden Elemente von Null verschieden ist.
Sodann gilt folgenderalgebraischer Dualitatssatz: zwei Gruppen, die ein primitives Gruppenpaar bilden, sind isomorph.
WennU undV dier- und (n−r)-dimensionale Bettische Gruppe einern-dimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeit sind und man alsu·v die Schnittzahl (bzw. die Schnittzahl nach einem festen Modul μ) der zugehörigen Zyklen versteht, so bildenU undV ein primitives Gruppenpaar (wobeiM entweder die Gruppe aller ganzen Zahlen oder der Restklassen mod μ ist), sind also isomorph (Dualitätssatz von Poincaré).
Wenn man fürU undV dier- bzw. (n−r−1)-dimensionale Bettische Gruppe eines KomplexesK⊂R n bzw. seiner KomplementärmengeR n−K wählt und anstatt der Schnittzahlen die Verschlingungszahlen ins Auge faßt, bilden die GruppenU undV wiederum ein primitives Gruppenpaar, sind also ebenfalls isomorph (Dualitätssatz von Alexander).
In analoger Weise erhält man alle bis jetzt bekannten topologischen Dualitätssätze (die als Verallgemeinerungen der obigen beiden anzusprechen sind).
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Literatur
Journ. Ec. Pol. 1895.
Math. Annalen72 (1912), S. 422–425.
Alexandroff, Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen, Ann. of Math. (2)30 (1928), S. 101–187. Dort befinden sich auch Hinweise auf die einschlägigen Arbeiten von Lefschetz, Vietoris u. a.
Comptes Rendus Acad. Sciences Paris154, séance du 27 mars 1911.
Brouwer, Beweis des Jordanschen Satzes fürn-Dimensionen, Math. Annalen71 (1911), S. 314–319 und On looping coefficients, Proc. Akad. Amsterdam15 (1912), S. 113–122.
A Proof and Generalisation of the Jordan-Brouwer Theorem, Trans. Amer. Math. Soc.23 (1922), S. 333–349.
MitR n wird in dieser Arbeit durchweg der durch den unendlich fernen Punkt ergänzten-dimensionale Euklidische Raum bezeichnet.
Gött. Nachr., Math.-Phys. Kl., 25. Nov. 1927.
Lefschetz, Ann. of Math. (2)29 (1928), S. 232; Frankl, Wien. Ber., Dez. 1927, S. 689.
Trans. Amer. Math. Soc.25 (1923), S. 540.
Pontrjagin, Gött. Nachr., Math.-Phys. Kl. 25. Nov. 1927 und Frankl a. a. O.9). Lefschetz, Ann. of Math. (2)29 (1928), S. 232
Die unendliche zyklische Gruppe (also die Gruppe aller ganzen Zahlen) wird gelegentlich auch als die zyklische Gruppe von der Ordnung Null bezeichnet. Diese Redeweise wird sich im Laufe dieser Arbeit wiederholt als sehr bequem erweisen.
Vgl. hierzu z B. H. Hopf, Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel, Gött. Nachr., Math.-Phys. Kl., 1928.
Siehe die Literaturangaben unter 25) Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Dissertation, Leiden 1929.
Im Falle μ=0 wird sogar ein schärferes Ergebnis bewiesen, nämlich die sogenannte Orthogonalität der beiden Gruppen, eine stärkere Eigenschaft als die Primitivität, auf die es uns aber im Augenblick nicht weiter ankommt. Es sei hier noch bemerkt, daß man in der Formulierung der beiden Dualitätssätze notwendig auf die hier gegebene Definition der Bettischen Gruppen modulo 0 als der reduzierten Gruppen angewiesen ist: es läßt sich nämlich mit denselben Methoden zeigen, daß dier-te Torsionsgruppe vonM n nicht zu dern−r-ten, sondern zu dern−r-1-ten Torsionsgruppe isomorph ist; ebenso ist dier-te Torsionsgruppe vonK zu dern−r−2-ten Torsionsgruppe vonR n-K isomorph (wennK ein inR n liegender Komplex ist). Infolgedessen ist im allgemeinen weder dien−r-te volle Bettische Gruppe einerM n zu derr-ten vollen Bettischen Gruppe derselben Mannigfaltigkeit, noch dien−r−1-te volle Bettische Gruppe vonR n-K zu derr-ten Bettischen Gruppe vonK isomorph.
Gött. Nachr. 1927, S. 323.
Alexandroff, a. a. O., S. 107.
a. a. O. 8) Gött. Nachr., Math.-Phys. Kl., 25. Nov. 1927.
Lefschetz, a. a. O..
Die Ausführungen des Kap. II beziehen sich auf Polyederkomplexe; der Fall stetiger Komplexe (d. h. topologischer Bilder von Polyederkomplexen) wird im Anhang I behandelt.
Vgl. etwa E. Noether, Math. Zeitschr.30, S. 648.
Wegen der Grundbegriffe der Topologie der Komplexe und Mannigfaltigkeiten vgl. etwa E. R. van Kampen, Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Dissertation, Leiden 1929, sowie Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Trans. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 301–329 und Ann. of Math. (2)31 (1930), S. 292–320 und Lefschetz, Intersections and transformations of complexes and manifolds, Trans. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 1–49. Weitere Literatur bei van der Waerden, Kombinatorische Topologie, Jahresber. d. D. M. V.39 (1930), S. 121. Man beachte im folgenden die terminologischen Festsetzungen der Einleitungen, insbesondere die der Fußnote15).
Vgl. Alexander, Ann. of Math. (2)31, S. 307 und Vietoris, Monatsh. f. Math. u. Phys.35 (1927), S. 165, sowie van Kampen a. a. O., Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Dissertation, Leiden 1929S. 13.
Ein inM n liegendes eindeutiges (jedoch nicht notwendig eineindeutiges) stetiges Bild eines Polyederkomplexes heißt ein inM n (mit eventuellen Singularitäten) eingebetteter Komplex. Falls die Abbildung eineindeutig ist, spricht man von singularitätenfreier Einbettung.
Wenn eine GruppeA auf eine GruppeB homomorph abgebildet ist, so heißt die Untergruppe vonA, die aus allen Elementen besteht, welche auf das Einheits-(Null-)element vonB abgebildet werden, derKern der homomorphen Abbildung.
Pontrjagin, Zum Alexanderschen Dualitätssatz, zweite Mitteilung, Gött. Nachr., 1927, S. 446.
Wenn jedem Elementa einer MengeA ein Elementb einer MengeB zugeordnet ist, und dabei jedesb mindestens einema entspricht, spricht man von einer Abbildung vonA auf B. Eine Abbildung vonA auf eine echte oder unechte Teilmenge vonB heißt (nach Herrn van der Waerden) eine Abbildung vonA in B.
Alexandroff, a. a. O., S. 107.
Alexandroff, a. a. O., S. 117 (Cor. I).
Beweis durch Induktionsschluß nach der Dimension der Elemente der Komplexe; vgl. z. B. Alexander, Trans. Amer. Math. Soc. 28.
Vgl. die Formulierung des Alexanderschen Dualitätssatzes im engeren Sinne (Kap. II, II, § 5).
Wir betrachten nur den Fall, in demM n ein verallgemeinerter Poincaréscher Raum ist; der Fall einer allgemeinenM n läßt sich in analoger Weise erledigen.
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Pontrjagin, L. Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze. Math. Ann. 105, 165–205 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01455814
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