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Literatur
Anmerkung bei der Korrektur: In engstem Zusammenhang damit steht das Hauptproblem einer demnächst in den Math. Annalen erscheinenden Arbeit: “Über Funktionen mit positivem Realteil.”
Die grundlegende Untersuchung über Streckenkomplexe ist die von G. Kirchhoff, Pogg. Annalen72 (1847). Die hier in Frage kommenden Eigenschaften der Streckenkomplexe sind in mathematischer Form u. a. bei Oswald Veblen, “The Cambridge Colloquium, 1916, Part. II, Analysis Situs”, Chapter I, S. 25, New York 1922 zu finden.
ersten Bettischen Zahl.
Stieltjes, Ann. Fac. Sci. Toulouse8 (1894), J. 1–122;9 (1895), A. 1–47 oder Ceuvres Complètes, Tome II (1918), S. 402, auch behandelt in O. Perron, “Die Lehre von den Kettenbrüchen”, 2. Aufl. Teubner 1928.
Anmerkung bei der Korrektur: Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., Okt. 1930: “Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik”, das umfangreiches numerisches Material enthaltende Forschungsheft des V.D.I. “Siebschaltungen” (V.D.I.-Verlag 1931) sowie eine in der Math. Zeitschr. geplante Veröffentlichung “Ein Interpolationsproblem mit Funktionen mit positivem Realteil”.
Die Wahl einer rein mathematischen Darstellung bezweckt, den behandelten Gegenstand, der wohl auch für den reinen Mathematiker einiges Interesse besitzt, diesem bequem zugänglich zu machen. Die Terminologie, Darstellungs-und Bezeichnungsweise wurde jedoch absichtlich so gewählt, daß dem mit der physikalischelektrotechnischen Seite der Sache etwas Vertrauten die Übersetzungsarbeit ins Physikalisch-elektrotechnische erleichtert wird.
Anmerkung bei der Korrektur: Diese Reziprozitätstheoreme weisen bereits auf den engen Zusammenhang unserer Problemstellung mit den beschränkten analytischen Funktionen hin. Vgl. dazu auch loc. cit. Anmerkung bei der Korrektur:
“Inzidenzmatrix” eines Streckenkomplexes.
Jahresber. d. D. M.-V. 1929.
M * entsteht ausM in (3) durch Fortlassung einer Zeile,M * ist die zuM * transponierte Matrix.
Vgl. die analoge “Darstellung” loc. cit. Jahresber. d. D. M.-M. 1929. Zur Unterscheidung von der später (III, 1) eingeführten “Darstellung im weiteren Sinne” soll die hier gemeinte “Darstellung in einem Streckenkomplex” auch als “Darstellung im engeren Sinn” bezeichnet werden.
In Abschnitt III wird der Äquivalenzbegriff enger gefaßt (III, 1).
Techn. Hochschule zu Berlin, 1926, abgedruckt im Archiv f. Elektrotechnik17, Heft 4 (Dez. 1926), S. 355.
Gemeint ist das “Öffnen” von Zweigen mit der Nummer 1 und 2.—Allgemeiner sind Zweige, durch die kein geschlossener Kreis (II, 4) geht, bedeutungslos für unsere Problemstellung. Sie können ohne Änderung der dargestellten Matrixfunktion aus einer Darstellung fortgelassen werden.
Vgl. hierzu auch den unter 5) Jahresber. d. D. M.-V. 1929. zitierten Vortrag.
Vgl. loc. cit. 1a) Die grundlegende Untersuchung über Streckenkomplexe ist die von G. Kirchhoff, Pogg. Annalen72 (1847).
Von den beiden Kirchhoffschen “Gesetzen” ist das eine—die letztenk-1 Gleichungen in (1)—in die Voraussetzung aufgenommen und das andere als Satz 1 bewiesen.
Siehe z. B. O. Veblen und Ph. Franklin, Annals of Mathematics (2)23 (1921/22), S. 1. Der hier angedeutete Beweis der kursiv gedruckten Sätze ist kürzer als der von Ph. Franklin in Journal of Mathematics and Physics4, Nr. 2, April 1925 gegebene Beweis. Ein analoger Satz und Beweis gilt für die kombinatorische Berechnung vonc ij (i≠j). Die Sätze selbst findet man bereits bei G. Kirchhoff, Pogg. Annalen72 (1847).
Siehe loc. cit. 5) Jahresber. d. D. M.-V. 1929.
Vgl. hierzu loc. cit. 1a) Die grundlegende Untersuchung über Streckenkomplexe ist die von G. Kirchhoff, Pogg. Annalen72 (1847) und 11) O. Veblen und Ph. Franklin, Annals of Mathematics (2)23 (1921/22), S. 1.
“Baum” hier wie üblich definiert, aber mit Maximalzahl von Zweigen.
Fürm=2 wurde bisher die an sich willkürliche Vorzeichenfestsetzung der rechten Seiten von (1) verschieden von der in (1′) gewählt und damit Zweig 1 mit dem +-Zeichen vory 1 vor Zweig 2 mit dem −-Zeichen vory 2 ausgezeichnet, so daß sich im ganzen vier Orientierungsmöglichkeiten eines Vierpoles ergaben (II, 3). Nur bei dieser Vorzeichenfestsetzung gilt die Matrizenmultiplikationsregel (27) für Reihenanordnungen von Vierpolen.
Genau so könnte man vonD ij =L ij =0 oderL ij =R ij =0 ausgehen und würde analog zu genau demselben Begriff “Transformator” gelangen. Die hier vorgenommene Auszeichnung vonL wurde dadurch veranlaßt, daß physikalisch eine approximative Realisierung der “Transformatoren” nur durch InduktivitätenL, nicht aber durch Ohmsche Widerstände oder Kapazitäten möglich ist.
Das ist nicht ohne weiteres erlaubt, wenn der Transformator einen Teil eines anderen 2p-Poles bildet (z. B. Fig. 9b).
Für die Zweipole Fig. 7b, c, d, lassen sich die an Stelle von (42), (43) tretenden weitergehenden Bedingungen auch durch die Ungleichungen (6a) und (6b) S. 4 (358) loc. cit. 7) Techn. Hochschule zu Berlin, 1926, ausdrücken.
Für diese Überlegung ist der geöffnete Zweig 1 geschlossen, d. h. in Fig. 7a sind die beiden äußersten Knotenpunkte links und rechts zusammengelegt zu denken
Man vergleiche hierzu auch loc. cit. 7), Techn. Hochschule zu Berlin, 1926, S. 5 (359).
Der in dieser Nummer behandelte Stoff wird zusammen mit einer Diskussion des Fallesn=3 in einer späteren Arbeit ausführlich dargestellt werden.
Fig. 8a ist hierbei ohne Transformaoor 2′ 2 zu denken.
m=1,2 ...odern, je nachdem in Fig. 9 a 1,2,... odern Kreise geöffnet werden.
Anmerkung bei der Korrektur: AusP ss =0 folgtP 1s =0 (wegen (42)), so daß es sich erübrigt, noch besonders die FälleP ss =0 auszuschließen.Für die Ausnahmefälle lassen sichstets ähnliche Darstellungen mit Transformatoren angeben. Vgl. die eingehenderen Ausführungen hierzu in einer in der “Elektrischen Nachrichtentechnik” geplanten Veröffentlichung “Realisierung von gegenseitigen Kapazitäten (Ohmschen Widerständen, Induktivitäten) mittels streuungsloser Transformatoren”.
Eine ausführlichere Behandlung des für den Elektrotechniker wichtigen Reziprozitätstheorems Satz 14 und reziproker Darstellungenunder Berücksichtigung von Verknüpfungsgrößen (gegenseitigen Induktionen) ist beabsichtigt. Dabei darf die hier der Kürze halber fortgelassene Einführung der zuz, x, y reziproken Variablen nicht fehlen.
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Anmerkung der Redaktion. Die vorliegende Fassung der Arbeit ist durch Kürzung einer Abhandlung entstanden, welche schon im März 1928 der Redaktion vorgelegen hat und dieselben Resultate enthält.
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Cauer, W. Untersuchungen über ein Problem, das drei positiv definite quadratische Formen mit Streckenkomplexen in Beziehung setzt. Math. Ann. 105, 86–132 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01455810
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455810