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Literatur
M. Dehn, Über die beiden Kleeblattschlingen, Math. Annalen75 (1914), S. 412.
Bis auf einen Faktor ±1.
O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität5, Leipzig 1927, S. 161 ff.
Siehe H. Gieseking, Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen, Dissertation, Münster 1912.
Crelles Journal163 (1930), S. 141.
Zum Beweise vgl. § 5. Die Sätze 3 und 4 lassen sich z. B. auch sofort aus allgemeinen Sätzen von K. Reidemeister und O. Schreier herleiten; vgl. K. Reidemeister, Knoten und Gruppen, § 1, Abh. aus d. math. Seminar d. Hamb. Universität5, 1927, S. 8 ff.; O. Schreier, loc. cit. Untergruppen der freien Gruppen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität5, Leipzig 1927, S. 161 ff.
Siehe M. Dehn,loc. cit.. (Anmerkung 1).
Jedem Automorphismus vonG entspricht in jeder fürG charakteristischen Gruppe ein Automorphismus dieser Gruppe; wir sagen, dieser sei von jenem “induziert”.
Siehe J. Nielsen, Die Isomorphismen der allgemeinen, unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden, Math. Annalen78 (1918), S. 393.
Die Reduktion unserer Aufgabe auf die diophantische Gleichung (1) — und damit auch die ganzen folgenden zahlentheoretischen Betrachtungen — sind natürlich bedingt durch die Art der Darstellung unserer Gruppe durch die zweckmäßig gewählten Erzeugendenu undv.
Vgl. z. B.: F. Klein, Vorles. üb. d. Theorie der elliptischen Modulfunktionen, herausgeg. von R. Fricke, Bd. 2 (Leipzig 1892), S. 161 f. Dort werden nur Substitutionen der Determinante +1 betrachtet; das bedingt gegenüber dem Obenstehenden eine geringe Abweichung.
Siehe J. Nielsen,loc. cit., S. 393, Gl. (11).
Wegen der topologischen Begriffe siehe M. Dehn,loc. cit., Die dort erwähnten Längskurven begrenzen im Außenraum.
O. Schreier, loc. cit., s. Anm. 3..
Siehe § 1.
Verallgemeinerung dieses Begriffs auf freies Produkt mit vereinigten Untegruppen von mehr als zwei Gruppen und entsprechende Verallgemeinerung des zugehörigen Satzes über die Lösbarkeit von Identitätsproblemen liegen auf der Hand.
a, b sind Erzeugende,R (a, b)=1 ist definierende Relation vonG.
und nach Einführung neuer primitiver Elemente; man setzt erstb=t α und führt dann, statta undt, als neue Erzeugendes=a t β undt ein.
Die natürlich von μ abhängen.
Fallsm=1, treten keine Relationen mehr auf; man ist also fertig.
Fallsm=2, ist man damit fertig.
Den Erzeugendena bzw.b entsprechen die linearen Substitutionenz′=−1/z bzw.z′=−1/z+1 einer Variablenz.
Natürlich gehören auch Worte, die nicht ina undb die Exponentensumme Null haben, zuC; aber diese Worte lassen sich durch die definierenden Relationen vonG stets in Worte verwandeln, die ina undb die Exponentensummen Null haben, z. B. gehört (ab)6=(ab)6 a −6 b −6 zuC.
Das eben benutzte Verfahren dient auch dazu, Satz 4 von § 2 aus Satz 1 und 3 von § 2 abzuleiten.
O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. aus dem Math. Seminar d. Hamburgischen Universität5, S. 161, Leipzig 1927.
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Magnus, W. Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen. Math. Ann. 105, 52–74 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01455808
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455808