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Über die Zerlegung der Hauptideale in allgemeinen Ringen

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Literatur

  1. Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz abgeschlossenen Ringen.—Zur Idealtheorie der ganz abgeschlossenen Ringe. Math. Annalen101 (1923). Die weiter unten erwähnten Untersuchungen von Artin sind mir bis jetzt nur durch einen Brief und durch mündliche Berichte über den Vortrag, den Herr Artin Juni 1930 in Zürich gehalten hat, bekannt geworden.

  2. Definition der symbolischen Potenzen und höchsten Primideale in § 1. Der Satz ist bei v. d. Waerden etwas anders formuliert.

  3. Vgl. H. Hasse, Über eindeutige Zerlegung in Primelemente oder in Primhauptideale in Integritätsbereichen. Journ. f. Math.159 (1928).

  4. Zu den benutzten Definitionen und Sätzen aus der Bewertungstheorie vgl. W. Krull, Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern II. Math. Zeitschr.31 (1930), § § 1–3, sowie § 5, S. 542.—Unsere Bewertungsdefinition umfaßt nur die im Ostrowkischen Sinne “nichtarchimedischen” Bewertungen, also nicht die Bewertung durch den gewöhnlichen absoluten Betrag, die aber bei unseren arithmetischen Untersuchungen überhaupt nicht in Betracht kommt.

    Google Scholar 

  5. Natürlich α·β≠0, damit ω(α·β) definiert. Triviale Zusatzbemerkungen, die wegen der Ausnahmestellung der 0 eigentlich nötig wären, lassen wir grundsätzlich. weg, so betonen wir nicht, daß ein Bewertungsring selbstverständlich auch die 0 enthält und dergleichen mehr.

  6. Der entscheidende Schluß des bewertungstheoretischen Beweises!

  7. Vgl. den Schluß von § 5.

  8. Ich nenne (abweichend von Hasse)p Primelement, wenn jedes durchp unteilbare Element zup prim ist, wenn also ausb·a≡0 (p),a≠0 (p) stets folgtb≡0 (p). Oder anders ausgedrückt:p heißt Primelement, wenn (p) Primideal. Die Produktzerlegung eines Elementes in Primelemente ist, wenn überhaupt vorhanden, stets (bis auf Einheitsfaktoren) eindeutig; denn zwei Primelemente sind stets entweder gegenseitig prim oder assoziiert.

  9. Vgl. Ein Satz über primäre Integritätsbereiche, Math. Annalen103 (1930), § 1, Satz 1.

  10. Von Hasse (vgl. insbesondere S. 5 der in Anm. 3)Über eindeutige Zerlegung in Primelemente oder in Primhauptideale in Integritätsbereichen. Journ. f. Math.159 (1928). zitierten Arbeit) habe ich das Symbolχ(a) übernommen. Die Eigenschaften vonχ(a) sind aus Bequemlichkeitsgründen im Hauptsatz 2 des Textes etwas anders und teilweise scheinbar spezieller formuliert als bei Hasse. Die einzigeuesentliche Verallgemeinerung gegenüber Hasse besteht im Texte in der Einführung des Faktorsq in der “Reduktionsbedingung” Damit ist die Möglichkeit gewonnen, über Hasse hinaus ein nicht nur hinreichendes, sondern auch gleichzeitig notwendiges Kriterium für die Gültigkeit des Z.P.-E. zu formulieren.

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  1. Erlangen

    Wolfgang Krull

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  1. Wolfgang Krull
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Krull, W. Über die Zerlegung der Hauptideale in allgemeinen Ringen. Math. Ann. 105, 1–14 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01455805

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