This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
„Zum Rechnen mit Potenzreihen”, Math. Annalen99 (1928), S. 616–624.
a. a. O. „Zum Rechnen mit Potenzreihen”, Math. Annalen99 (1928), S. 622 ff.
Vgl. Anm. 14). Ich habe hier vorzugsweise den, allerdings nicht häufigen Fall im Auge, daß man bloß von einer einzelnen Determinante den Wert ermitteln muß. Bei dem nicht nur symbolischen Auflösen einer Kette linearer Gleichungen z. B. wendet man, wenn es überhaupt nicht etwa durch schrittweise Annäherung („Iteration”) geschehen soll, (bekanntlich) besser keine Determinanten an. Wie man zweckmäßig verfährt, soll an anderem Ort gezeigt werden.
H. Graßmann unterschied in seiner „Ausdehnungslehre” von 1844 intensive und extensive Größen. Statt des ersteren Ausdrucks hat sich der von Hamilton stammende „skalare Größe” oder „Skalar” eingebürgert. Dem letzteren ziehe ich „extense Größe” oder „Extense” vor, was sprachlich einwandfrei ist, weil im Lateinischen extensus und extensivus gleichbedeutend sind.
Mit Graßmann (Ausdehnungslehre von 1862 Nr. 138=Werke I 2, S. 112) bezeichne ich innere Produkte durch einen senkrechten Strich zwischen den beiden Faktoren, äußere („kombinatorische”) Produkte (wie Graßmann in seiner Ausdehnungslehre von 1862) durch Einschließen der Faktoren in eckige Klammern.
Es steht [ab/e i e j ] für [ab]/[e iej], [abc/e iejek] für [abc]/[e iejek], usw., d. h. man muß die äußeren Produkte [ab], [e iej], [abc], [e iejek] usw. bilden, ehe man sie durch innere Multiplikation verbindet.
Man wird, wenn die Elemente keine ganz einfachen Zahlen sind, eine Rechenmaschine oder eine passende Produktentafel zur Erleichterung der Rechenarbeit benützen. In dem betrachteten Fall, daß die Konstanten durchweg in Zahlen bestehen, wird allerdings allgemein empfohlen, einen Rechenschieber oder sonst ein logarithmisches Rechenhilfsmittel anzuwenden und von vornherein die erste Gleichung einer jeden Kette mit dem Koeffizienten der ersten Unbekannten in ihr zu dividieren, wodurch zwar die Rechenarbeit verringert wird, aber auch die Proben verlorengehen. Der gewöhnlich vorgeschlagene Ausweg, eine neue Spalte mitzuführen, in die man jedesmal die Summe der in einer und derselben Zeile stehenden Zahlen schreibt, ist, wie üble Erfahrungen gezeigt haben, kein so wirksamer Schutz gegen Rechenfehler, wie es die fraglichen Proben sind.
Vgl. etwa meine Vorlesungen über Punkt- und Vektorenrechnung,I, 1, Leipzig 1913, S. 124.
Vgl. ebendort S. 146 Gl. (13), in der nur [e 1 e 2] an Stelle vonD zu setzen ist.
Wie hier und bei den späteren Aufgaben kaum bemerkt zu werden braucht, wird man, wenn es Erfolg verspricht, die gegebene Matrix oder Determinante vor Beginn der eigentlichen Rechnung durch die bekannten Umformungen, die ihren Rang, oder bei einer Determinante ihren Wert, unverändert lassen—„rangtreue” bzw. „werttreue” Umformungen—zu vereinfachen suchen. In den obigen Beispielen ist jedoch davon Abstand genommen worden.
Es ist dieselbe Zahl, die Graßmann 1844 und wieder 1862 die Stufe des linearen Gebiets der Extensena, b, c, ... genannt hat (Ausdehnungslehre von 1844, Nr. 31=WerkeI, 1, S. 81; Ausdehnungslehre von 1862 Nr. 14=WerkeI, 2, S. 16). Man hätte also das Recht, Stufe statt Rang zu sagen, da Frobenius erst 1879 das Fachwort Rang—wenn auch anders (und zwar weniger einfach) erklärt—eingeführt hat.
Entnommen der „Einführung in die höhere Algebra” von Maxime Bôcher, deutsch von Hans Beck, 2. Aufl. 1925, S. 64.
Ich habe hier vorzugsweise den, allerdings nicht häufigen Fall im Auge, daß man bloß von einer einzelnen Determinante den Wert ermitteln muß. Bei dem nicht nur symbolischen Auflösen einer Kette linearer Gleichungen z. B. wendet man, wenn es überhaupt nicht etwa durch schrittweise Annäherung („Iteration”) geschehen soll, (bekanntlich) besser keine Determinanten an. Wie man zweckmäßig verfährt, soll an anderem Ort gezeigt werden.
Manche nennen ihn im Anschluß an Cayley eine Matrix, andere wegen der von Graßmann dabei meistens benützten Darstellung einen Mehrnenner-Bruch oder extensen Bruch.
Anmerkungen zu H. Graßmanns WerkenI, 2, S. 461.
Entnommen W. Hort, Die Differentialgleichungen des Ingenieurs, 2. Aufl. (1925), S. 642. Wegen gewisser Symmetrieeigenschaften der Matrix läßt sich die Endgleichung 5. Grades in eine quadratische und eine Gleichung dritten Grades zerlegen, wovon jedoch oben abgesehen wird, weil es auf die Erläuterung des allgemeinen Verfahrens ankommt.
Ausdehnungslehre von 1844, § 45=Werke I, 1, S. 100; Ausdehnungslehre von 1862, Nr. 134=WerkeI, 2, S. 104.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Mehmke, R. Praktische Lösung der Grundaufgaben über Determinanten, Matrizen und lineare Transformationen. Math. Ann. 103, 300–318 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01455697
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455697