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Literatur
P. Finsler, Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen, Inaugural-dissertation, Göttingen 1918.
G. Grüß, Über Gewebe auf Flächen in dreidimensionalen allgemeinen metrischen Räumen, Math. Annalen100, Heft 1.
P. L. Tchebychef, ∄uvres,2, S 708.
L. Berwald, Über zweidimensionale allgemeine metrische Räume, Journ. f. d. r. u. ang. Mathematik156, I, S. 191ff.; II, S. 211ff. Über Parallelübertragung in Räumen mit allgemeiner Maßbestimmung, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver.34, Heft 9 bis 12. Untersuchung der Krümmung allgemeiner metrischer Räume auf Grund des in ihnen herrschenden Parallelismus, Math. Zeitschr.25, S. 40ff.
L. Bianchi, Le reti di Tchebychef sulle superficie ed il parallelismo nel senso di Levi-Civita, Bolletino della Unione matematica Italiana1 (1922), p. 1ff.
Außer den unter 3) P. L. Tchebychef, Œuvres2, S. 708. genannten Arbeiten vgl. P. Funk und L. Berwald, Flächeninhalt und Winkel in der Variationsrechnung, Lotos-Prag67/68, S. 52ff.
Ausführliche Literaturangaben über Kurvennetze ohne Umwege auf Flächen im Euklidischen Raum bei G. Scheffers, Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raum, 2. Aufl.,1 (1911), S. 181. Auf allgemein-metrischen Flächen sind solche Netze in der unter2) genannten Arbeit untersucht worden.
Vgl. R. Rothe, Über die Bekleidung einer Oberfläche mit einem biegsamen unausdehnbaren Netz, Sitz.-Ber. d. B. M. G.5 (1906), 1. Stück, S. 9.
R. Rothe, Über die Bekleidung einer Fläche mit einem Gewebe (“Kurvennetze ohne Umwege”), Sitz.-Ber. d. B. M. G.,7 (1907), 1. Stück, S. 16.
Vgl. Fußnote 3) P. L. Tchebychef, Œuvres 2, S. 708. “Tchebychefsche Gewebe” werder zur Abkürzung im folgenden T.-Gewebe genannt.
C. Carathéodory, Die Methode der geodätischen Äquidistanten und das Problem von Lagrange, Acta Mathem.47 (1915), Heft 3.
W. Blaschke, Räumliche Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung, Berichte d. Kgl Sächs. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, Math.-phys. Klasse68 (1916), S. 50ff; J. Radon, Über eine besondere Art ebener konvexer Kurven, ebenda S. 123 ff.; G. Grüß, Die ebenen Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung, Math. Zeitschr.29, S. 470ff.
Gilt außer Gleichung (3) auchf(u,v,ku′,kv′)=|k|f(u,v,u′,v′) fürk<0, dann ist a) ξ:η≠du:dv und b) ξ:η=du:dv zu unterscheiden, d.h. die Fälle ξ=λdu, η=λdv, λ<0 und λ>0 werden gleich behandelt (vgl. 6).
Die Berwaldschen Differentialgleichungen sind auch bilinear; das liegt daran, daß die allgemeine Maßbestimmung durch die Einführung des Feldes ausgezeichneter Richtungen auf eine “tangierende Riemannsche Metrik” zurückgeführt wird.
Vgl. Fußnote 5).
Grüß, a. a. O. Die ebenen Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung, Math. Zeitschr.29, S 470ff.
Die Berechtigung dieses Versuches möge dahingestellt bleiben; während Finsler den Flächeninhaltsbegriff gar nicht einführt, definiert Berwald ihn allein auf Grund der Längenmessung (vgl. Fußnote 6)). P. L. Tchebychef, Œuvres,2 S. 708. genannten Arbeiten vgl. P. Funk und L. Berwald, Flächeninhalt und Winkel in der Variationsrechnung, Lotos-Prag67/68, S. 52ff.
Einen ähnlichen Satz beweisen Funk und Berwald a. a. O. (Fußnote 6)). P. L. Tchebychef, Œuvres,2 S. 708. genannten Arbeiten vgl. P. Funk und L. Berwald, Flächeninhalt und Winkel in der Variationsrechnung, Lotos-Prag67/68, S. 52ff.
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Grüß, G. Beiträge zur Differentialgeometrie zweidimensionaler allgemein-metrischer Flächen. Math. Ann. 103, 162–184 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01455693
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