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References
“Beitrag zum Oszillationsproblem”, Weber-Festschrift, Teubner 1912. Das dort betrachtete Randwertproblem hat eine etwas allgemeinere Form.
“Theorie der gedämpften Schwingungen”, Straßburger Inauguraldissertation, Teubner 1914. In dieser Arbeit wird kein unter (1) (2) fallendes Problem behandelt, sondern eine Differentialgleichung. mit allgemeinerem Vorkommen des Parameters λ in Verbindung mit den einfachen Randbedingungenu(0)=u(1)=0.
American Transactions 1908, S. 373, und Rendiconti di Palermo36 (1913), S. 115.
“Sur quelques points de la theorie des équations differentielles... etc.” Rend. Palermo34, S. 345.
In den beiden ersten Teilen dieser Arbeit wird von der Voraussetzung stets positiverc(x) undk(x) kein Gebrauch gemacht; dies geschieht erst im dritten Teile.
Die Formel (6) leistet in unserm Falle des Anfangswertproblems dasselbe wie die bekannte Formel (30) (vgl. Nr. 13) für Randwertprobleme. Diese liefert die Lösung des inhomogenen Problems aus der Greenschen Funktion und der Funktion, die auf der rechten Seite der inhomogenen Gleichung steht. Diestetige Funktionl 0 (sx) spielt in unserm Falle die Rolle der Greenschen Funktion.
Vgl. v. Mises, l. c., S. 258.
Der Begriff stammt von Birkhoff, der für das adjungierte System eines Randwertproblemsn-ter Ordnung eine definierende Eigenschaft angibt, l. c. S. 373.
Der erste Satz der vorigen Nummer lautet mit dieser Terminologie: “Orthogonale Randwertprobleme und nur diese sind selbstadjungierte.”
“Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen.” Teubner 1917, S. 41.
“Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung”. Jahresbericht d. deutschen Math. Ver. 21, S. 309 ff.
In einer in Straßburg abgehaltenen Vorlesung 1913 über “Differential- und Integralgleichungen der Physik”.
Unter der Voraussetzung, daßu(0x) undu(1.x) ein Fundamentalsystem bilden.
Die Greensche Funktionv(λ,xt) ist also ein im allgemeinen unsymmetrischer Kern der dem Randwertproblem äquivalenten Integralgleichung, aber doch ein recht spezieller, so daß es zweckmäßig scheinen kann, einen direkten Weg—wie hier—zur Behandlung solcher Randwertprobleme einzuschlagen, statt (wie dies bei orthogonalen Randwertproblemen meist geschieht), die Theorie des Ranwertproblems auf die allgemeine Theorie der Integralgleichung mit unsymmetrischem Kern zurückzuführen.
Hätten wir statt (1) eine nicht sich selbst adjungierte Differentialgleichung, so hättev als Funktion vont der zur gegebenen Gleichung adjungierten zu genügen; hier genügtv auch als Funktion vont der Gleichung (1).
Vgl. Hilb, Mathem. Annalen71, S. 76.
Die Berechtigung zu dieser—zunächst anschaulich einleuchtenden—Aussage kommt in der folgenden Nummer genauer zur Sprache.
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Pollaczek-Geiringer, H. Zur expliziten Lösung nicht orthogonaler Randwertprobleme. Math. Ann. 90, 292–317 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01455446
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