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Reference
Math. Annalen61, S. 251.
(C1)-summierbar, d. h. summierbar durch Cesàrosche Mittel erster Ordnung.
f. ü. werden wir künftighin für “fast überall” schreiben.
Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Math. Annalen67 (1909), S. 225. Der hierin enthalten Beweis ist nicht vollständig.
Proc. of the Lond. Math. Soc. (2)14, S. 428–439, insbes. S. 434–439.
A theorem on series of orthogonal functions, Proc. of Lond. Math. Soc. (2)15 (1915), S. 128–139, insbes. S. 137.
Unter “log log” ist der iteriertes Logarithmus verstanden
M. G. Fubini, Rendiconti R. Accademia dei Lincei 1915 (1. Sem.), S. 204–206. A. Rajchman und S. Saks: Sur la dérivabilité des fonctions monotones; Fund. Math.4 (1923), S. 211–213. Dieser Satz lautet: Eine konvergente Reihe von nicht abnehmenden Funktionen, die in (a, b) definiert sind, ist fast überall in (a, b) gliedweise differentiierbar. Durch diesen Satz vereinfacht sich der Beweis ganz beträchtlich. (Siehe Kaczmarz, Über die Konvergenz von Reihen von Orthogonalfunktionen”, Math. Zeitschritft23, S. 263, ferner Kolmogoroff, Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier, Fund. Math.5, S. 96–97.
Die folgenden Überlegungen sind aus Betrachtungen hervorgegangen, die Rademacher beim Beweise der Konvergenz von∑vc v ρ v (x) angestellt hat. (Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Math. Annalen87 (1922), S. 112–138, insbes. 2, S. 117–119.)
Ein analoger Satz, jedoch mit der Voraussetzung Σv c 2v logv, findet sich in der unter Anm. 5 zitierten Arbeit von Hobson auf S. 436. Der Beweis des Hilfssatzes weicht von dem Hobsonschen Beweis darin ab, daß auch hier die Methode, die sich auf den Satz von Saks und Rajchman stützt (a. a. O. 9)) zur Anwendung kommt.
A. a. O. 8), Unter “log log” ist der iterierte Logarithmus verstanden S. 437.
A. a. O. 10) Die folgenden Überlegungen sind aus Betrachtungen hervorgegens, die Rademacher beim Bewise der Konvergenz von∑vc v ρ v (x) angestellt hat. (Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Math. Annalen 87 (1922), S. 112–138, insbes. 2, S. 117–119.)
D. Menchoff: “Sur les séries de fonctions orthogonales”, Fund. Math.4, S. 82–105, insbes. S. 89.
Plessner, Crelles Journal155, Heft 1, S. 15–25.
Vgl. hierzu einen Satz von Kolmogoroff über Teilfolgen von Fourierreihen, die zu quadratisch integrierbaren Funktionen gehören, a. a. O. 9) (C1)-summierbar, d. h. summierbar durch Cesàrosche Mittel erster Ordnung.
Auch hier erweist sich also die Konvergenz von Σv c 2v hinreichend.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Rademacher, der die Güte hatte, die vorliegende Arbeit zu lesen, und mir manchen wertvollen Rat gab.
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Borgen, S. Über (C1)-Summierbarkeit von Reihen orthogonaler Funktionen. Math. Ann. 98, 125–150 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01451584
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01451584