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Darstellung der Grundzüge der Urysohnschen Dimensionstheorie

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  1. Vgl. wegen Bezeichnungen Paul Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen (Math. Ann.94, S. 262).

  2. Alsoder dem II. Abzählbarkeitsaxiom genügenden, kompakten topologischen Räume, Siehe hierzu P. Urysohn, “Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume” Math. Annalen92 S. 275) sowie “Zum Metrisationsproblem” (Math. Annalen94, S. 309).

  3. Vgl. über diesen Standpunkt “Mémoire s. l. mult. Cant. I, Introduction, §§ 8, 9 (Fund. Math. 7, S. 41, 42, insbesondere Fußnote3), S. 41). Im folgenden werden wir den ersten bzw. zweiten Teil des “Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes” durch Mém. I, bzw. Mém. II zitieren.

  4. Siehe P. Urysohn, “Der Hilbertsche Raum usw.”, Math. Annalen92, S. 302.

  5. Siehe P. Urysohn, “Zum Metrisationsproblem”. Math. Annalen94, S. 309 und A. Tychonoff, “Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn”, Math. Annalen95, S. 139.

  6. Vgl. hierzu P. Alexándroff, “Über die Metrisation der im kleinen kompakten Räume”, Math. Annalen98, S. 294.

  7. Vgl. hierzu auch. P. Alexandroff,Sur les multiplicités cantoriennes et le théorème de Phragmén-Brouwer généralisé, Comptes Rendus Paris183, (1926), S. 722.

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  8. Sieh H. Tietze, Beiträge ..., Math. Annalen88, S. 290 und auch P. Urysohn a. a. O.1 Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen (Math. Ann.94, S. 262)), § 3 (S. 265). Wir werden im § 7 den Satz, I wesentlich verschärfen. Siehe hierzu auchMém. 1, ch. IV, § 2 (Fund. Math.8, S. 257).

  9. Vgl. hierzuMém. 1, ch. I, §§ 7–10 (Fund. Math.7, S. 69–72).

  10. Mém.1, ch. I, §§ 4–6.

  11. Vgl. P. Urysohn a. a. O.1), Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen (Math. Ann.94, S. 262). § 9 (S. 271) sowieMém 1, ch. I, § 19 (Fund. Math.7, S. 79).

  12. Vgl. wegen der ausführlicheren BeweiseMém. 1, ch. I no no 14-17 (S. 75–77). Der Satz findet sich im wesentlichen bei Sierpiński (Fund. Math. 2, S. 89).

  13. Vgl. z. B. die bekannten Arbeiten von Baire und Lebesgue, sowie Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Leipzig 1914), S. 304.

  14. Dieser besonders einfache Beweis rührt von Menger her (Monatshefte f. Math. u. Phys.34, S. 141; Amsterdamer Proceedings27 (1924), S. 639; überdies in verallgemeinerter Form Math. Annalen95, S. 282). Der Uryschnsche Beweis (Mém. ch. IV §§ 13, 14, Fund. Math.8, S. 277) war komplizjerter.

  15. Journal f. Math.142 (1913) (vgl. auch eine Berichtigung dazu in Bd. 153 derselben Zeitschrift).

  16. Vgl.Mém. 1, ch. VI, § 5, lemme I (Fund. Math.,8, S. 325) und Brouwer, Bemerkungen zum natürlichen Dimensionsbegriff, Proc. Ac. Amsterdam27, S. 635, wo die Äquivalenz der beiden Definitionen für eine allgemeinere Klasse (der sogenannten kondensierten Mengen) bewiesen wird. Eine endgültige Verallgemeinerung rührt von L. Tumarkin (Proc. Ac. Amsterdam28, S. 994, sowie Math. Annalen98) und W. Hurewicz (Math. Annalen96) her, die die in Betracht kommende Äquivalenz füralle Punktmengen beweisen.

  17. S. wegen ausführlicheren BeweisesMém. 1, ch. IV, § 2, lemme (Fund. Math.8, S. 257).

  18. S (M, ε) bedentet allgemein die Menge aller derjenigen Raumpunkte, deren Entfernung von der Menge kleiner als ε ist.

  19. R. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues (Paris, Gauthier-Villars, 1905), S. 78–79 (für den allgemeinen Fall bewiesen bei Hausdorff a. a. O., S. 327–328).

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  20. S. wegen ausführlicher Darstellung des Beweises der Satze, IIIo und III1 Mém,1, ch. IV, §§ 2–7 (Fund. Math. 8, S. 257–268).

  21. a. a. O.25), S. wegen ausführlicher Darstellung des Beweises der Satze III0 und III1,Mém.1, ch. IV, § 10.

  22. Ausführlich inMém. 1, ch. VI, §§ 6–8 (Fund. Math.8, S. 328–342).

  23. Im FalleB 0=0 erhält man den Satz II.

  24. a. a. O.28), Ausführlich inMém. 1, ch. VI, § 6, lemme II, S. 328.

  25. A. a. O.28), Ausführlich inMém 1, ch. VI, § 7, lemme III, S. 333–337.

  26. So ist z. B. in diesem Satze implizite die Möglichkeit enthalten, jede höchstensn-dimensionale abgeschlossene MengeC auf eine bestimmte Weise mittels höchstensn-dimensionaler Komplexe zu approximieren (wobei auch die umgekehrte Tatsache gilt). Vgl. hierzu meine Arbeit “Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie” (Math. Ann.96 S. 489–512), sowie die ausführliche Untersuchung des Falles dimC=1 in meinem Aufsatze “Kombinatorische Eigenschaften der allgemeinen Kurven” (Math. Ann.96, S. 512–555). Die weitere Entwicklung dieser Theorie ist in meinen fünf Comptes-Rendus-Noten: 1. “Sur la dimension des ensembles fermés”. 2. “Les multiplicités Cantoriennes etc”. 3. “Une définition des nombres de Betti pour un ensemble fermé quelconque”. 4. “Sur la décomposition de l'espace etc.”. 5. “Une généralisation nouvelle du théorème de Phragmén-Brouwer” (Comptes Rendus Paris183, S. 640 u. 722,184, S. 317, 425 u. 575) kurz angedeutet. Eine ausführliche Darstellung erscheint demnächst in den Math. Annalen. In diesem Zusammenhang (nämlich unter Benutzung von Satz I) ist es K. Menger gelungen, zu beweisen, daß jedes eindimensionale Kontinuum einer Teilmenge des dreidimensionalen Zahlenraumes homöomorph ist, womit ein von Urysohn inMém.1, ch. III, § 12 (Fund. Math. 8, S. 246) gestelltes Problem gelöst ist. (Menger beweist sogar den entsprechenden Satz für jedeabgeschlossene eindimensionale Menge und spricht auch sehr plausibel erscheinende Vermutungen über denn-dimensionalen Fall aus.)

  27. Für den Fall, woC eine imn-dimensionalen ZahlenraumeE n gelegene und daselbst innere Punkte besitzende abgeschlossene Menge ist, ist die Hauptidentität zum ersten Male bereits 1911 von Lebesgue (Math. Ann.70, S. 166–168) ausgesprochen und 1913 von Brouwer (Journ. f. Math.142 (1913), S. 150–152) bewiesen worden. Eine ausführliche Darstellung des Beweises des Satzes gibt Lebesgue in Fund. Math.2 (S. 257 ff.).

  28. Fund. Math.2, S. 259–261.

  29. Fürim kleinen zusammenhängende Kontinua gilt ferner folgendes: fallsC ein im kleinen zusammenhängendes höchstensn-dimensionales Kontinuum ist, so existiert für jedes ε>0 eine (ε,n+1)-Überdeckung vonC, deren Elemente Kontinua sind; falls umgekehrt für jedes ε eine aus Teilkontinuen vonC des KontinuumsC bestehende (ε,n+1)-Überdeckung vorhanden ist, so istC im kleinen zusammenhängend und höchstensn-dimensional. S. wegen des BeweisesMém. 1, ch. V, § 7 (Sohluß), Fund. Math.8, S. 301–303.

  30. Mém. 1, ch. I, §§ 4–11 (Fund. Math. 7, S. 81–89).E n −M enthält in der Tat eine inE n dichte abzählbare TeilmengeD n ; da aber nach einem Fréchet-Brouwerschen Satz (Fréchet, Math. Annalen 68 (1910), S. 159; Brouwer, Proc. Amsterdam15 (1913), S. 1259) manE n auf sich selbst eineideutig und stetig derart abbilden kann, daßD n in die MengeR n aller Punkte vonE n mit sämtlich rationalen Koordinaten übergeht, so braucht man nur die Ungleichung dim (E n −R n )≦n−1 zu beweisen. Letzteres geschieht aber mit elementaren Mitteln (Fund. Math. 7, S. 82).

  31. Vgl. meine unter11a). zitierte Comptes-Rendus-Note, wo der Satz VI für denn-dimensionalen Raum verallgemeinert und bewiesen wird. Der Beweis geschieht, wenn auch unter Heranziehung wesentlich neuer Hilfsmittel, durchaus gemäß dem von Urysohn inMém. 1, ch. V, §§ 18, 19 (Fund. Math. 8, S. 312) angegebenen Plane. Eine wesentlich weiter gehende Verallgemeinerung des Satzes ist in meiner unter33) zitierten Note Nr. 5 gegeben.

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  32. Siehe wegen. dimensionstheoretischer Eigenschaftenebener Mengen (die sich vermutlich auch auf denn-dimensionalen Raum übertragen lassen) vor allemMém. 2, ch. VII (Verh. Kon. Ak. Amsterdam, I. Sect.,13 (1927). Die Weiterführung der daselbst nur angedeuteten Untersuchungen scheint zu wesentlich neuen Einsichten in den topologischen Aufbau der Koordinatenräume führen zu können.

  33. Aus dem Resultat meiner soeben37). erwähnten Note folgt, daß man in der Formulierung des Korollars II das Wort “verallgemeinerte” streichen darf.

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  34. Die Voraussetzung der Kompaktheit-des RaumesE ist hier schon deshalb überflüssig, weil jeder separable metrisierbare Raum als Teilmenge, eines kompakten metrischen Raumes betrachtet, werden darf (S.P. Urysohn, Der Hilbertsche Raum usw., Math. Ann.92, S. 302). Einmetrisierbarer Raum heißt separabel (Fréchet), wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge enthält.

  35. Siehe die unte12) Siehe H. Tietze, Beiträge ..., Math Annalen88, S. 290 und auch P. Urysohn a. a. O.1), § 3 (S. 265). zitierten Arbeiten von H. Tietze und P. Urysohn.

  36. Mit Hilfe des Zermeloschen Wohlordnungssatzes läßt sich übrigens auch der allgemeine Satz IV′ ohne Mühe beweisen (vgl. Sierpinski, Fund. Math.1, S. 7). Da aber derartige Beweise aus dem Rahmen der geometrischen Mengenlehre gänzlich herausfallen, geben wir im folgenden einen zweiten, konstruktiven Beweis des Satzes IV′.

  37. Diese Beziehung läßt sich in unserem Falle, ohne Benutzung des Auswahl postulates herstellen. (Vgl. Sierpiński, “Les ensembles effectifs et l'axiome du choix” [Fund. Math.2, S. 113]).

  38. Der Leser sei dabei auf das sich am Ende des 7. Bd. der Fundamenta befindende Verzeichnis von teilweise recht sinnstörenden Druckfehlern und ausgefallenen Literaturhinweisen aufmerksam gemacht.

  39. Zwei Voranzeigen “Zur allgemeinen Dimensionstheorie” und “Über Zerlegungen kompakter metrischer Räume in zueinander fremde abgeschlossene Mengen” in den Proceedings Kon. Ak. Wet. Amsterdam28, Nr. 10 (Meeting of Nov. 28, 1925), sowie ausführliche Darstellung in Math. Ann.98.

  40. “Normalbereiche und Dimensionstheorie”, Math. Ann.96.

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  1. Moskau

    Paul Alexandroff

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  1. Paul Alexandroff
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Die vorliegende Arbeit ist ein Auszug aus dem “Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes” von Paul Urysohn (I Teil: “La dimension”, Fund. Math.7, S. 30–137;8, S. 225–360; II. Teil:Les lignes Cantoriennes, Verhandel. d. Kon. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam 1927). Für Wahl und Disposition des Stoffes sowie für die Redaktion der vorliegenden Abhandlung ist Paul Alexandroff verantwortlich. Die meisten hier dargestellten Sätze waren von Paul Urysohn in den Comptes-Rendus-Noten “Les multiplicités Cantoriennes” (C. R.175, S. 440, séance du 11 septembre 1922) und “Sur la ramification des lignes Cantoriennes (C. R.175, S. 481, séance du 18 septembre 1922) zum ersten Male veröffentlicht. Vgl. übrigens auch den grundlegenden kurzen Aufsatz von Brouwer (Journ. f. Math.142 (1913)) und die von den Urysohnschen unabhängig enstandenen Arbeiten von K. Menger (insbesondere Monatshefte f. Math. u. Phys.23 (1923) u.24 (1924)).

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Alexandroff, P. Darstellung der Grundzüge der Urysohnschen Dimensionstheorie. Math. Ann. 98, 31–63 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01451580

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