This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
references
G. Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49.
F. Hausdorff: 1) Berichte der Math.-Phys. Klasse der kgl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Bd. LVIII, 26. II. 1906. Untersuchungen über Ordnungstypen, I. Die Potenzen von Ordnungstypen. 2) Math. Ann., Bd. 65. Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen.
G. Hessenberg: Potenzen transfiniter Ordnungszahlen. Jahresberichte der Deutschen Mathem.-Vereinigung, Bd. 16. Heft 2. Wir zitieren diese Arbeit mit: P. t. O.
Wir legen den von Zermelo eingeführten Mengenbegriff zugrunde. Math. Annalen, Bd. 65: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I.
Man vgl. G. Gantor, l. c. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49. pag. 231 f., F. Hausdorff, pr. l. c. Berichte der Math.-Phys. Klasse der kgl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Bd. LVIII, 26. II. 1906. Untersuchungen über Ordnungstypen, I. Die Potenzen von Ordnungstypen. 2) Math. Ann., Bd. 65. Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. pag. 127 f. und A. Schoenflies: Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Jahresberichte der Deutschen Mathem.-Vereinigung, Bd. 8. pag. 45.
Wir schließen uns hier eng an G. Cantor an, l. c. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49. pag 231 f.
G. Hessenberg: Grundbegriffe der Mengenlehre, Abhandl. der Friesschen Schule, I. Bd., 4. Heft (als Sonderdruck erschienen), § 64. Wir zitieren diese Arbeit in Zukunft mit: G. d. M. — Man vgl. die in § 1 zur Erklärung der allgemeinen Hauptzahlen gegebene Anmerkung.
l. c. pag. 237.
G. d. M., Kap. XIX.
Man vgl. E. Jacobsthal: Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen, Math. Ann. Bd. 64.
Cantor, l. c. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49. pag. 222, Satz C.
Hessenberg, G. d. M. § 81. Man vgl. damit die sich an den Beweis von XIII anschlie\enden Bemerkungen. Die Eigenschaft 2) erfüllt die Funktionf(α, β) bei konstantem α als Funktion von β und deshalb kann nicht beständigf(α, β)>β sein. Und weilf(α, β)>α ist, (β>1), so kann nicht die Limeseigenschaftf(lim α β) = limα f (α β) gelten. Diesen Sachverhalt hat zuerst Hessenberg erkannt.
Man vgl. §2, Nr. 12, Satz (e).
Dieser Unterschied macht sich bei manchen Untersuchungen geltend:z. B. kann man mit Hilfe der additiven Formel die Bedingungen für die multiplikative Vertauschbarkeit zweier Zahlen α und β aufstellen, während man mit der Produktformel in gewissen Fällen auf Schwierigkeiten stö\t, nämlich dann, wenn es sich um Limeszahlen α, β handelt. Man vgl. G. Cantor l. c. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49. und E. Jacobsthal l. c. Man vgl. E. Jacobsthal: Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen, Math. Ann. Bd. 64.
G. Cantor, l. c. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 49. §. 20.— Cantor rechnet ω nicht zu den ε-Zahlen.
Man vgl. G. Hessenberg, P. t. O. Hessenberg hat zuerst darauf hingewiesen, da\ auch ω den Charakter einer ε-Zahl hat.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Jacobsthal, E. Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik. Math. Ann. 66, 145–194 (1908). https://doi.org/10.1007/BF01450583
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01450583