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Literatur
Vergl. Mathematische Annalen Bd. 34, p. 31 und C. Jordan, Bulletin de la société mathématique de France. T. I, 1873, p. 46.
Vergl. Netto: Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra 1882, p. 133; Young: On the determination of groups whose order is a power of a prime American Journal of Mathematics Vol. XV; Cole and Glover: On groups whose orders are products of three prime factors, Am. Journ. Vol. XV; Hölder: Die Gruppen der Ordnungenp 3,pq 2,pqr,p 4, Mathematische Annalen Bd. 43. Hinsichtlich des Zeitverhältnisses der letzten drei Arbeiten bemerke ich, dass die meinige bereits an die Redaction eingesandt war, als die beiden Abhandlungen im Aprilhefte und Julihefte des American Journal (1893) erschienen. Die Untersuchung der Herren Cole und Glover ist in den Beweisen nicht vollständig, auch ist die Zahl der verschiedenen vorbandenen Gruppen nicht immer richtig bestimmt. Als Beispiel mögen gewisse Gruppen der Ordnungpq 2 dienen. Es giebt, wennq−1 durchp theilbar ist,p undq als Primzahlen vorausgesetzt, gewisse besondere Gruppen, die durch die Relationen\(S^p = 1,{\mathbf{ }}S^{ - 1} T_1 S = T_1^\varrho ,S^{ - 1} T_2 S = T_2^{\varrho ^\mu } ,T_1^q = T_2^q = 1,{\mathbf{ }}T_1 T_2 = T_2 T_1 \) definirt werden können. Dabei bedeutet ϱ eine Zahl, die modq zum Exponentenp gehört und μ eine Zahl aus der Reihe 1, 2, 3,...p−1. Diese Gruppen sind von den Herren Cole und Glover aufgefunden und in ganz entsprechender Weise dargestellt worden. Sie gehen dabei von der Voraussetzung der Existenz der Gruppen aus, leiten daraus die Relationen ab und zeigen hinterher die Erfüllbarkeit solcher Relationen an einem Zahlenbeispiele. Dass aber die gewonnenen Relationen unter den überp, q, ϱ und μ gemachten Annahmen stets eine Gruppe der Ordnungpq 2 definiren, wird von ihnen nicht gezeigt. Ausserdem ist die Anzahl der in den Relationen enthaltenen Gruppen fürp>2 gleich zwei angegeben (β2 und β2 vergl. a. a. O. S. 206 und S. 207); diese Anzahl ist aber für eine ungerade Primzahlp gleich\(\frac{{p + 1}}{2}\).
Vergl. Math. Annalen Bd. 43; p. 330.
Vergl. Annalen Bd. 34, p. 31 u. 32.
Cf. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870, p. 56.
Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. 1884. pag. 232 und 233.
Vergl. Mathematische Annalen Bd. 40, p. 62, Lehrsatz V.
Vergl. Dziobek, Grunerts Archiv Theil 68, p. 226 und p. 230.
Journal de l'école polytechnique, cahier 17, p. 19.
Vergl. z. B. Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen 1890, I. Bd., p. 488 ff.
Exercices d'analyse etc. 1840, tome III, p. 250.
Vergl. Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Bd. I, p. 219.
Vergl. Dyck, Mathematische Annalen Bd. 20, p. 35 und Hamilton, Philosophical magazine, fourth series vol. XII 1856, p. 446.
Mathematische Annalen Bd. 43, p. 334.
Wir verdanken diese Relationen Herrn Dyck. Vergl. Annalen Bd. 20, p. 40 und p. 41. Die OperationenA 1 undA 3 sind genau die ebenso benannten des Herrn Dyck.
Vergl. Klein-Fricke Bd. I, p. 219 Anm.
Vergl. Klein-Fricke, I. Bd., p. 393, wo dasselbe Beweismittel verwendet wird.
Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 314.
Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 307 ff.
Vergl. ebendaselbst diese Annalen Bd. 43, p. 312.
Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 311.
Vergl. Dyck, Math. Annalen Bd. 20, p. 15.
Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 317.
Vergl. z. B. diese Annalen Bd. 43, p. 305.
Vergl. auch Bolza, Am. Journ. of Math. Vol. XI, p. 201.
Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 330.
Math. Annalen Bd. 40, p. 67.
Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 409 und 410.
Mathematische Annalen Bd. 40, p. 55.
American Journal of Mathematics, Vol. XIV, p. 378, ibidem American Journal of Mathematics, Vol. XV, pag. 303.
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Hölder, O. Bildung zusammengesetzter Gruppen. Math. Ann. 46, 321–422 (1895). https://doi.org/10.1007/BF01450217
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01450217