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References
H. A. Schwarz: „Über die Integration der partiellen Differentialgleichung\(\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y^2 }} = 0\) unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen”. Berl. Monatsber. 1870. Ges. Abh. Bd. II.
Osgood: On the existence of the Greens fonction for the most general simply connected plane region.” Am. Trans. 1900.
Brodén: „Bemerkungen über die Uniformisierung analytischer Funktionen”. Lund, Berlingsche Druckerei, 1905.
Johansson: „Über die Uniformisierung Riemannscher Flächen mit endlicher Anzahl Windungspunkte”. Act. Soc. Fenn., t. 33, 1906.Derselbe: „Ein Satz über die konforme Abbildung einfach zusammenhängender Flächen auf den Einheitskreis”. Math. Ann. Bd. 62, 1906.Derselbe: „Beweis der Existenz linear polymorpher Funktionen vom Grenzkreistypus auf Riemannschen Flächen”. Math. Ann. Bd. 62, 1906. Die zuletzt erwähnte Abhandlung ist jedoch nur zum Teil einwandrei; denn die auf pag. 191 des Bandes sich findende für Johansson zur Erlangung des von ihm in dieser Arbeit angestrebten Hauptresultats wesentliche Behauptung „Jede auf ϕ(p,0) unverzweigte Funktion ist nun ersichtlich auch auf ϕ(p+1, 0) unverzweigt” ist unrichtig, ein Einwand, zu welchem auch Herr Johansson seine Zustimmung gegeben hat.
Poincaré: „Sur l'uniformisation des fonctions analytiques”. Acta Math. t. XXXI, pag. 1–63, insbesondere pag. 46–63. Die bereits im März 1907 gedruckte Arbeit erschien erst im November 1907.
Koebe: „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven”. Gött. Nachr., 12. Mai 1907, pag. 191–210. Eine Darstellung dieses meines ersten Beweises findet man auch bei Fubini „Introduzione alla teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe” (Pisa, Spoerri, 1908). Ich benütze diese Gelegenheit, um meine sämtlichen bisherigen Publikationen über Uniformisierung bezw. konforme Abbildung zusammenzustellen. Ich numeriere dieselben, ihrer zeitlichen Aufeinanderfolge entsprechend, um im Laufe der vorliegenden Abhandlung kürzer zitieren zu können. I. „Über konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Bereiche, insbesondere solcher Bereiche, deren Begrenzung von Kreisen gebildet wird”. Vortrag, gehalten auf der Naturforscherversammlung in Meran, September 1905. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1906, pag. 142–153. II. „Über konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Bereiche”. Vortrag, gehalten auf der Naturforscherversammlung in Stuttgart, September 1906. Jahresbericht der D. M.-V. 1907, pag. 116–130. III. „Über die Uniformisierung reeller algebraischer Kurven”. Gött. Nachr., 9. März 1907, pag 177–190. IV. „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven”. (Erste Mitteilung). Gött. Nachr., 12. Mai 1907, pag. 191–210. V. „Zur Uniformisierung der algebraischen Kurven”. Gött. Nachr., 6. Juli 1907, pag. 410–414. VI. „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (Zweite Mitteilung.)” Gött. Nachr., 23. November 1907, pag. 633–669. VII. „Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. (Imaginäre Substitutionsgruppen). (Voranzeige.) Mitteilung eines Grenzübergangs durch iterierendes Verfahren.” Gött. Nachr., 22. Februar 1908, pag. 112–116. VIII. „Über ein allgemeines Uniformisierungsprinzip”. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematikerkongreß in Rom, April 1908. (Noch nicht erschienen.) IX. „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (Dritte Mitteilung.)” Gött. Nachr., 11. Juli 1908, pag. 337–358. X. „Konforme Abbildung der Oberfläche einer von endlich vielen regulären analytischen Flächenstücken gebildeten körperlichen Ecke auf die schlichte ebene Fläche eines Kreises”. Gött. Nachr., 19. Dezember 1908, pag. 359–360. XI. „Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe”. Gött. Nachr., 20. Febr. 1909, pag. 68 folg. XII. „Sur un principe général d'uniformisation”. Comptes Rendus, 29. mars 1909.
Man kann versuchen, auch die den uniformisierenden Variablen des ersten Typus entsprechenden Abbildungsprobleme durch Majorantenbildung zu erledigen. In diesem Sinne gerade versuchte Herr Johansson (l. c.) in direkter Anknüpfung an Poincaré (Bull. t. XI) und Osgood (Am. Tr. l. c.) eine Lösung der betreffenden Probleme. Diesen Gedanken habe ich in der Note V weiter verfolgt. Eine vollständige Zuendeführung oder auch nur Förderung dieses Gedankens scheint mir auch jetzt noch ein Interesse darzubieten.
Vgl. Lüroths Satz über rationale Kurven. Math. Ann. Bd. 9, pag. 163–165.
Schwarz, Abhandlung über die hypergeometrische Reihe. Crelles Journal, Bd. 75. — Vgl. ferner Kleins Methode der Bestimmung aller endlichen Gruppen linearer Substitutionen in „Vorlesungen über das Ikosaeder”, pag. 115–120.
Vgl. z. B. Fricke-Klein, „Vorlesungen über automorphe Funktionen”, Bd. I, pag. 222–224.
H. A. Schwarz: „Über einige Abbildungsaufgaben”. (Crelles Journal, Bd. 70).
Wir gewinnen an dieser Stelle den Anschluß an die von Herrn Klein herrührende Einteilung der symmetrischen Riemannschen Flächen bezw. reellen algebraischen Kurven. Die hier von uns gebrauchten Tatsachen versehe ich mit Beweisen, die man mit den entsprechenden Entwicklungen bei Klein vergleichen wolle. F. Klein: „Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale”, pag. 72 (Leipzig, 1882). „Über konforme Abbildung von Flächen”, Math. Ann., Bd. 19 (1881). „Über die Realitätsverhältnisse bei der einem beliebigen Geschlechte zugehörigen Normalkurve der ϕ”, Math. Ann., Bd. 42 (1892). „Riemannsche Flächen”, autographierte Vorlesung, Leipzig, Teubner. S. auch G. Weichold, „Über symmetrische Riemannsche Flächen und die Periodizitätsmoduln der Abelschen Normalintegrale erster Gattung”. Zeitschrift für Math. u. Phys., Bd. 28 (1883).
Die uniformisierenden Variablen, deren Existenz in den Problemen 1a und 1b postuliert wird, stimmen als solche mit gewissen von Herrn Klein in Math. Ann., Bd. 20 und 21 l. c. postulierten Größen überein. Vgl. ferner Poincaré, Acta Math., t. IV bezw. I, Fricke-Klein, „Vorlesungen” Bd. II, pag. 45: Fundamentalproblem I.
Ist in Problem 2a und 2b die FlächeF s orthosymmetrisch und wird dasvollständige System der Symmetrielinien als System der Realitätszüge gewählt, wobei dann in 2b die Verzweigungspunktea 1,...,a p wegfallen so stimmen die betreffenden uniformisierenden Variablen als solche mit den von Fricke in Fricke-Klein, „Vorlesungen” Bd. II, pag. 46 (Fundamentaltheorem II) postulierten Größen überein. Die von uns in 2a und 2b postulierten weiteren uniformisierenden Variablen sind gerade diejenigen und nur diejenigen, für welche die Gruppe reelle Substitutionen mitnegativer Koeffizientendeterminante enthält. (Vgl. die Bemerkungen pag. 154.)
Vgl. pag. 192–194.
Vgl. Note IV, pag. 202.
Vgl. Note IV, pag. 202–204.
Vgl. die entsprechende Entwiklung in IV, pag. 205.
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Koebe, P. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. I. Math. Ann. 67, 145–224 (1909). https://doi.org/10.1007/BF01450180
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