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References
F. Bachmann, Eine Begrundung der absoluten Geometrie in der Ebene, Math. Annalen113 (1936), S. 424–451, und F. Bachmann und K. Reidemeister, Die metrische Form in der absoluten und der elliptischen Geometrie, ebenda113 (1937), S. 748–765. Im folgenden wird die erste Arbeit mit „A. G.”, die zweite mit „M. F.” zitiert.
Siehe die Theorie der reellen Körper: E. Artin und O. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Hamb. Abh.5 (1926), S. 83–99; E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktioner in Quadrate, ebenda Hamb. Abh.5 (1926), S. 100–115; B. L. van der Waerden, Moderne Algebra. Bd. I., 2. Aufl., Berlin 1937, §70–72.
Darunter soll das Axiomensystem verstanden werden, das aus den ebenen Axiomen der ersten drei Axiomgruppen des Hilbertschen Axiomensystems der euklidischen Geometrie, also aus den Axiomen I 1–3, II, III besteht (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930). Nimmt man zu unserem Axiomensystem das Axiom der Streckenabtragung hinzu, so kann das entstehende System als eine von Anordnungsbegriffen und-axiomen befreite Fassung des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie betrachtet werden.
J. Hjelmslev, Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre, Math.-fys. Meddelelser, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab8 (1929), Nr. 11;10 (1929), Nr. 1.
E. Podehl und K. Reidemeister, Eine Begrundung der elliptischen Geometrie, Hamb. Abh.10 (1934), S. 231–255.
Siehe F. Bachmann, Die Bewegungsgruppe einer ebenen Cayleyschen Geometrie, erscheint im J. reine angew. Math.181 (1939); im folgenden zitiert als “B. G.”. (Dort wird nur die ordinäre ebene Cayleysche Geometrie betrachtet.)
Stets Charakteristik ≠2 vorausgesetzt.
Es möge nur das Axiom III 9 durch das folgende Axiom ersetzt werden: Axiom III 9*.Sind A B und A′ B′ zwei kongruente Strecken, so besitzt die Strecke A A′ einen Mittelpunkt. Aus III 9* folgt III 9. Diese Abänderung sollte schon in M. F. geschehen sein, denn III 9* wurde benutzt, um zu zeigen, daß die Bewegungen einer absoluten Geometrie projektive Transformationen und nicht beliebige Kollineationen sind, die die Polarität erhalten.
Siehe Amm. 1), S. 424–451, und F. Bachmann und K. Reidemeister, Die metrische Form in der absoluten und der elliptischen Geometrie, ebenda113 (1937), S. 748–765. Im folgenden wird die erste Arbeit mit “A. G.”, die zweite mit “M. F.” zitiert.
Man kann an Stelle des Axioms IV auch das folgende Axiom wählen: Axiom IVa.Zu einer Geraden g gibt es durch einen nicht auf ihr liegenden Punkt höchstens zwei Geraden, die mit g weder einen Punkt noch ein Lot gemein haben. Eine singuläre Geometrie, die IV a erfüllt, erfüllt wiederum den Spezialfall IV*, und die elliptisch absolute Geometrie kann wieder als die ordinär absolute Geometrie definiert werden, die IV* erfüllt. Die hyperbolische Geometrie ist die ordinär absolute Geometrie, in der IV a, aber nicht IV* gilt. Sie enthält also zu wenigstens einer Geradeng zwei Ausnahmegeraden, die mitg weder einen Punkt noch ein Lot gemein haben. Bezeichnet man diese Geraden als zug nicht-euklidisch parallel, so kann man zeigen, daß unter Voraussetzung des Axioms IV a diese Definition der nich-euklidischen Parallelen mit der im Text verwendeten gleichwertig ist.
M. F., § 1.
B. G., 6.
Diese Körper haben Herr Reidemeister und ich früher gelegentlich als euklidische Körper bezeichnet.
Hilbert, a. a. (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930) O., § 9 und §37.
Hilbert, a. a. O. (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930) § 3.
Siehe die in Anm. 2)Siehe die Theorie der reellen Körper:. zitierten Arbeiten.
Hilbert, a. a. O. (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930). § 12.
F. Hausdorff, Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 139.
Siehe auch unten 3. 2; zu der unvollständigen Zwischenrelation vgl. O. Bottema, De elementaire Meetkunde van het platte vlak, Groningen 1938, Hoofdstuk IX.
Vgl. Anm. 3).Darunter soll das Axiomensystem verstanden werden, das aus den ebenen Axiomen der ersten drei Axiomgruppen des Hilbertschen Axiomensystems der euklidischen Geometrie, also aus den Axiomen I 1–3, II, III besteht (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930). Nimmt man zu unserem Axiomensystem das Axiom der Streckenabtragung hinzu, so kann das entstehende System als eine von Anordnungsbegriffen und-axiomen befreite Fassung des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie betrachtet werden.
Das Axiom III 10 ist im Rahmen der übrigen Axiome äquivalent mit der Aussage: Das Produkt der Spiegelungen an drei Geradenc 1,c 2,c 3, die auf einer Geradeng senkrecht stehen, ist identisch mit der Spiegelung an einer Geradenc 4, die aufg senkrecht steht. Denn in A. G., Satz 20 ist gezeigt, daß diese Aussage aus III 10 folgt, und es ist leicht zu sehen, daß auch die Umkehrung gilt. Die angeführte Aussage ist wiederum äquivalent mit der folgenden: Das Produkt der Spiegelungen an drei PunktenC 1,C 2,C 3, die auf einer Geradeng liegen, ist identisch mit der Spiegelung an einem PunktC 4 der Geradeng. Denn die Spiegelungsgleichungc 1 c 2 c 3=c 4 hatc 1 g·gc 2·c 3 g=c 4 g und daher die SpiegelungsgleichungC 1 C 2 C 3=C 4 zur Folge, und umgekehrt.
Siehe B. G., 5.
H. Liebmann, Synthetische Geometrie, Leipzig-Berlin 1934, S. 37. (Aus unseren Überlegungen folgt, daß die Formulierungen des E. P.-Axioms auf S. 23 und S. 37 des Liebmannschen Buches nicht āquivalent sind.) — Zusatz bei der Korrektur: Zur algebraischen Bedeutung der Liebmannschen Axiome und Definitionen vgl. auch die Arbeit von O. Bottema, Zur Axiomatik der projektiven Geometrie, Monatsh. Math. Phys.47, S. 234–239, 1939, die mir erst jetzt bekannt geworden ist.
In einem KörperK soll unter einerQuadratklasse eine Menge verstanden werden, die alle von Null verschiedenen Elemente ausK umfaßt, die sich nur um-einen Faktor unterscheiden, der inK Quadratzahl ist.
H. Minkowski, Über die Bedingungen, unter denen zwei quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational transformiert werden können. Ges. Abh., Bd.I, S. 219, Leipzig 1911. Vgl. K. Reidemeister, Knotentheorie, Erg. d. Math. I 1, S. 29, Berlin 1932.
K. Hensel, Zahlentheorie, Berlin-Leipzig 1913, S. 298.
H. Hasse, Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen, Journ. reine angew. Math.152 (1923), S. 129, Satz 4; und: Über die Äquivalenz quadratischer Formen im Körper der rationalen Zahlen, ebenda S. 205, Satz 2.
Hensel, a. a. O. K. Hensel, Zahlentheorie, Berlin-Leipzig 1913, S. 328.
Das einer ternären Form nach B. G., Satz 2 zugeordnete Quaternionensystem zerfällt, da es keine endlichen Schiefkörper gibt.
O. Veblen and J. W. Young, Projective Geometry, Boston 1918, Vol. II, Ch. 2.
Siehe M. F., § 1.
Ebenso wie in einemp-adischen Körper gibt es in einem Körper der betrachteten Art fünf normierte ternäre Formen mit der Diskriminante 1:Q 1 (x, x),Q 0 (x, x), die Form (1), die Form (5) und die Form−x 12 +ax 22 −ax 23 . Von den vier ersten sind keine zwei zueinander āquivalent, und die fünfte ist zuQ 0 (x, x) āquivalent.
F. Schur, Grundlagen der Geometrie, Leipzig-Berlin 1909, S. 99.
Siehe z. B. Schur, a. a. O. Grundlagen der Geometrie, Leipzig-Berlin 1909, S. 100.
Hilbert, a. a. O. (s. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig-Berlin 1930), Anhang III.
Siehe Anm. 4). J. Hjelmslev, Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre, Math.-fys. Meddelelser, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab8 (1929), Nr. 11;10 (1929), Nr. 1.
Hiermit ist die von Hjelmslev, a. a. O., J. Hjelmslev, Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre, Math.-fys. Meddelelser, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab8 (1929), Nr. 11 , § 9 „Über die Axiome der Anordnung”, aufgeworfene Frage beantwortet. (Dieser Paragraph enthalt Fehler, die verschwinden, wenn man die Hjelmslevschen Überlegungen auf das Axiomensystem aus Hjelmslevs früherer Arbeit, Math. Annalen64 (1907), S. 449–474, bezieht.)
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Bachmann, F. Stufen der absoluten Geometrie. Die Frage nach der Unabhängigkeit der Anordnung. Math. Ann. 117, 197–234 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01450018
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