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References
G. Doetsch, Beitrag zu Watsons “General Transforms”, Math. Annalen113 (1937), S. 226–241; Zur Theorie der involutorischen Transformationen (General Transforms) und der selbstreziproken Funktionen, ebenda S. 665–676. Diese beiden Arbeiten werden im folgenden als Tr. I und Tr. II zitiert.
Vgl. Tr. II, S. 667.
Hier und in der Folge bedeutet das Zeichen ≡ so viel wie: überall gleich bis auf eine Nullmenge.
ϑ(z) entspricht gemäß der Substitution (1. 4) der FunktionR(x) von § 1.
Das folgende ist eine Übersetzung von Tr.I, S. 235 in die Sprache der ℜ
Wenn ein Integral im gewöhnlichen Sinne und als quadratischer Mittellimes konvergiert, so stimmen beide Werte überein; man kann also ℜ(ϱ) durch das gewöhnliche Integral ausrechnen.
Die Bedingung B ist von H. Kober, Eine Verallgemeinerung der Transformationen vom Fourier-Typ, Quart. Journ. (Oxford Ser.)8 (1937), S. 172–185 (Satz 2, S. 174) angegeben worden. Die Ableitung von (3. 3) geschieht hier nach dem Vorgang von I. Busbridge, On general transforms with kernels of the Fourier type, Journ. Lond. Math. Soc.9 (1934), S. 179–187, über den Parsevalschen Satz für die Mellin-Transformation. Es scheint mir aber, daß gerade die Schreibweise der Transformation (1. 2) als Kompositionsgleichung und ihre Algebraisierung durch den Faltungssatz besonders deutlich den inneren Mechanismus hervortreten läßt.—Beim Vergleich des Obigen mit den eben zitierten Arbeiten ist zu beachten, daß die Funktion\(\frac{{\vartheta *\left( y \right)}}{{\varrho *\left( y \right)}}\) bei I. Bushridge mit Ω(1/2+iy), bei H. Kober mit ω(y) bezeichnet ist.
Es kann natürlich zu demselben λ auch noch weitere Eigenfunktionen, die nicht zuL 2(0, ∞) gehören, und ebenso weitere λ geben, denen nicht zuL 2(0, ∞) gehörige Eigenfunktionen entsprechen. Siehe das Beispiel S. 121.
Für den Fall λ=1 siehe I. Busbridge, l. c. 11) On general transforms with kernels of the Fourier type, Journ. Lond. Math. Soc.9 (1934), S. 186 und Doetsch, Tr. II, S. 668.
Istϕ(z)≢0, so kannϕ*(y) wegen (2.2) nicht ≡ 0 sein. Istϕ*(y)≢0, so kann φ(z) wegen (2.1) nicht ≡ 0 sein.
ϑ*(y) und ϱ*(y) sind meßbar, also auchD λ(y). Die Menge, woD λ(y)=0 ist, hat folglich stets ein Maß. Dieses kann natürlich ∞ sein.
Insbesondere gibt es im FalleM<1 keine selbstreziproken und schiefreziproken Funktionen.
Es gibt Transformationen (1. 2), die kontinuierlich viele Eigenwerte mit Eigenfunktionen, die nicht zuL 2(0,∞) gehören, besitzen. Hierfür geben wir S. 121 ein Beispiel.
G. Doetsch, Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion als Laplace-Integral und eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation, Math. Zeitschr.42 (1937), S. 263–286 (§ 6).
Die Laplace-Transformierte einer Funktion ausL 2(0,∞) gehört also wieder zu dieser Klasse, so daß man inL 2(0, ∞) die Laplace-Transformation beliebig oft iterieren kann.
G. H. Hardy and E. C. Titchmarsh, Solution of an integral equation, Journ. Lond. Math. Soc.4 (1929), S. 300–304.—Die Gleichung zwischen β und λ kann man einfacher so schreiben: sinπβ=πλ 2.
E. C. Titchmarsh, Introduction to the theory of Fourier integrals, Oxford 1937, S. 267.
Damit weiche ich von der in Tr. II eingeführten Bezeichnung ab. Dort und in Tr. I kamen nur Transformationen mit\(\chi _0 = \bar \chi \) vor, und diese wurden involutorisch genannt, weil im Falle einesreellen χ genau das vorliegt, was man in der Geometrie eine involutorische Transformation nennt. Werden nun aber auch Transformationen mit komplexem χ, für die χ0=χ ist, in den Kreis der Betrachtung einbezogen, so erscheint es zweckmäßig, den Namen “involutorisch” für diese zu reservieren und die Transformationen mit\(\chi _0 = \bar \chi \) in üblicher Weise “unitär” zu nennen. Eine durch eine Matrix ‖a i k ‖ definierte lineare Transformation heißt ja unitär, wenn\(\left| {^| a_{i k} } \right.\left\| { \cdot ^| \bar a_{k i} } \right\| = E\) ist, d. h. wenn die Umkehrung durch\(\left\| {\bar a_{k i} } \right\|\) bewerkstelligt wird, wofür bei einer symmetrischen Matrix\(\left\| {\bar a_{i k} } \right\|\) geschrieben werden kann. Dem entspricht bei unserem in den Variablenz, ζ symmetrischen Kern χ (z ζ) die Umkehrung durch den Kern\(\bar \chi \left( {z \zeta } \right)\). —Bei Kober, l. c. 11 die unitären als “Fourier-Klasse” bezeichnet. Diese Benennungen sind insofern sachlich nicht ganz treffend, als einerseits Watson in seiner bekannten Arbeit, die die Theorie der dem Postulat A genügenden Transformationen (1. 2) inauguriert hat [siehe26)] nur reelle χ betrachtet, für die beide Klassen zusammenfallen, und andererseits die Fourier-Transformation mit dem Kerne −ixy zwar durch die Transformation mit dem konjugierten Kern umgekehrt wird, aber sich nicht auf das Grundgebiet (0, ∞), sondern auf (−∞, ∞) bezieht, also gar nicht zur “Fourier-Klasse” gehört.
H. Kober, l. c. 11), S. 177. Übersetzt man (5. 1) vermittels Hilfssatz 3 in eine Kompositionsgleichung
Zusatz bei der Korrektur (Mai 1939): Satz 5 findet sich in anderer Gestalt in der unlängst erschienenen Arbeit von H. Kober, Involutorische Transformationen und selbstreziproke Funktionen, Proc. Lond. Math. Soc.44 (1938), S. 453–465. Hier wird nur nach denjenigen Transformationen gefragt, die mindestens eine Eigenfunktion haben, deren ℜ-Transformierte fast überall ≠ 0 ist; das bedeutet in unserer Sprache, daß es (nur zwei) Eigenwerte gibt, deren Lizenzmenge die ganze Achse ist. —Bei dieser Gelegenheit möchte ich noch auf die mir inzwischen näher bekannt gewordene Arbeit von E. Frola, Trasformazioni funzionali lineari ed equazioni integrali singolari. Ann. Mat. pura appl. (4)16 (1937), S. 127–155, 165–182 hinweisen, die mit meiner gegenwärtigen Note gewisse Analogien aufweist. Hier wird nicht die Transformation (1. 2), sondern (1. 1) zugrundegelegt, und zwar unter der speziellen Annahme, daß χ (z) reell ist und eine (als Cauchyscher Hauptwert existierende) ℜ-Transformierte besitzt, die beschränkt, stetig und durchweg ≠ 0 ist. Gefragt wird nach solchen Eigenfunktionen, die sich in der Gestalt\(\int\limits_{ - \infty }^\infty {z^{ - \tfrac{1}{2} + i y} d V \left( y \right)} \) mit einemV (y) von beschränkter Variation in (−∞, ∞) darstellen lassen. Unter der zusätzlichen Forderung, daß die Funktionen außerdem zuL 2(0, ∞) gehören sollen, entstehen Sätze, die zu gewissen Resultaten meiner Arbeit analog sind: Teorema VII, S. 154 entspricht der Formel (4. 7) in Satz 3, Teorema X, S. 155 dem Satz 5. Das Analogon zu Teorema VIII, S. 154 wäre ebenfalls leicht aufzustellen.—Die Ergebnisse der gegenwärtigen Arbeit habe ich bereits 1936 bei der Publikation von Tr. I und II besessen. Die dem Herausgeber der Annalen schon damals angekündigte Ausarbeitung unterblieb dann wegen der Fertigstellung meines Buches über die Laplace-Transformation.
Für reelle Kerne bei G. N. Watson, General transforms, Proc. Lond. Math. Soc. (2)35 (1933), S. 156–199; für komplexe Kerne bei M. Plancherel, Sur les formules de réciprocité du type de Fourier, Journ. Lond. Math. Soc.8 (1933), S. 220–226; Beweis vermittels Algebraisierung-in Tr. I, er läuft genau wie der in25).
Die Bedingung B ist hier eo ipso mitM=1 und =statt ≦erfüllt.
Derselbe Satz gilt auch für unitäre Matrizen, siehe z. B. Courant-Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, 2. Aufl. 1931, S. 37 und für allgemeine unitäre Transformationen im Hilbertschen Raum, siehe M. H. Stone, Linear transformations in Hilbert space, New York 1932, S. 302.—Die Bedingung |λ|=1 kann natürlich auch aus (4. 7) in Verbindung mit (5. 3) erschlossen werden.
Dieses spezielle Resultat ist auch bei Kober, l. c..
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Doetsch, G. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen von Integraltransformationen. Math. Ann. 117, 106–128 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01450012
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