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References
Hans Hamburger, Über die Riemannsche Funktionalgleichung der ζ-Funktion. 1. Mitteilung. Math. Zeitschr.10 (1921), S. 240–254, im folgenden kurz mit 1. Mtlg. zitiert. Vgl. insbesondere Satz 1, S. 240–241.
Vgl. A. Krazer, Lehrbuch der Thetafunktionen, Leipzig 1903, S. 96; dort finden sich auch genauere Literaturangaben.
Vgl. Krazer, l. c. Fußnote 2) Vgl. A. Krazer, Lehrbuch der Thetafunktionen, Leizpig 1903, S. 96–98.
Auf die etwas weitergehende Voraussetzung a) des Satzes 1 der 1. Mtlg., S. 240 —f(s) durfte dort endlich viele Pole haben — wird hier im Interesse der einfacheren Formeln verzichtet.
Vgl. Hj. Mellin, Über eine Verallgemeinerung der Riemannschen Funktion ζ (s). Acta soc. sc. fenn.24 (1899), S. 39–40.
E. Phragmén u. E. Lindelöf, Sur une extension d'un principe classique d'analyse, Acta Math.31 (1908), S. 381–406, insbes. S. 385.
Hj. Mellin, Abriß einer einheitlichen Theorie der Gamma- und hypergeometrischen Funktionen. Math. Ann.68 (1910), S. 305–337, vgl. insbes. S. 315–316 und S. 318–319.
B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Gesammelte Werke, herausgegeben von H. Weber, 2. Aufl. Leipzig 1892, S. 145–153, siehe insbes. S. 146–147.
Vgl. z. B. C. Jordan, Cours d'analyse (2. Aufl. 1894) II, S. 165–167.
l. c. Fußnote B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Gesammelte Werke, herausgegeben von H. Weber, 2. Aufl. Leipzig 1892, S. 145–153, siehe insbes. S. 146–147. S. 146.
G. Landsberg, Zur Theorie der Gaußschen Summen und der linearen Transformationen der ϑ-Funktionen. Journ. f. reine u. angew. Math.111 (1893), S. 234–253, vgl. insbes. S. 235–238.
Vgl. Fußnote 2), 1. Mtlg.,—, S. 252–253.
Der in Fußnote 1) zitierte Siegelsche Beweis folgerta n b n=b schon aus (III), ohne erst (IV) zu bilden.
l. Mtlg., § 4, S. 253–254. — Ich möchte nicht unterlassen, an dieser Stelle darauf hinzuweisen, daß Herr Tschakaloff in Sofia, wie er mir gütigst brieflich mitgeteilt hat, in einer Abhandlung: Analytische Eigenschaften der Riemannschen Funktion ζ (z), die in bulgarischer Sprache (1914) in Sofia als selbständige Druckschrift erschienen ist, einen Beweis der Riemannschen Funktionalgleichung veröffentlicht hat, der in wesentlichen Punkten mit dem zitierten Beweise des § 4 der 1. Mtlg. übereinstimmt.
Die scheinbar so unhandliche Bedingung (12) läßt sich in speziellen Fällen wesentlich vereinfachen, da sich dann oft eine Folge von Zahleny ν konstruieren läßt, woF(x+iy ν) beschränkt bleibt oder nur wie log2 y ν unendlich wird. Vgl. die Fußnote 23) am Schluß.
l. c. Fußnote 4). Vgl. A. Krazer, Lehrbuch der Thetafunktionen, Leipzig 1903.
P. Epstein, Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen. Math. Ann.56 (1903), S. 615–644; vgl. insbes. S. 623–627.
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Diese Note gibt unverändert den Inhalt eines Vortrages wieder, den ich im Hamburger Mathemat. Kränzchen am 5. Okt. 1921 gehalten habe; ihre Resultate habe ich bereits Ostern 1921 einigen befreundeten Mathematikern mitgeteilt. Bei meiner Rückkehr aus Hamburg am 10. Okt. fand ich einen Brief von Herrn C. Siegel (Göttingen vor, der einen neuen Beweis des am Anfang dieser Note zitierten Satzes über die ζ-Funktion enthält. Der Siegelsche Beweis stimmt in wesentlichen Punkten mit dem hier veröffentlichten überein (§§ 1-2), ist aber in einer Hinsicht einfacher (vgl. Fußnote16)). Ich betone, daß Herr Siegel, dessen Note auch in den Math. Ann. erscheinen wird, von meinen Untersuchungen keine Kenntnis hatte.
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Hamburger, H. Über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der Riemannschen ζ-Funktion äquivalent sind. Math. Ann. 85, 129–140 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01449611
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