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References
Sitzungsber. der Berliner Acad., 8. Juni 1882; sowie auch die Abhandlung:Ueber lineare homogene Differentialgleichungen...; Acta Math., I, 1883; S. 321–02.
Berlin 1887.
Christiania Forhandl, 1872; Göttinger Nachr. Dec. 1874.
Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc.; t. 88, S. 116 u. 224; 1879. In der zweiten Mittheilung wird bereits hervorgehoben, dass für eine lineare Differentialgleichung 3ter Ordnung das Verschwinden einer gewissen Invariante mit dem Bestehen einer quadratischen Relation mit constanten Coefficienten zwischen den Fundamentallösungen gleichbedeutend ist, und dass eine derartige Differentialgleichung stets mitz‴=0 “äquivalent” ist.
Diesem Gedanken war auch Cockle im Jahre 1868 mit seinen “criticoids” sehr nahe gekommen (Educ. Times, IX, S. 105-12; vgl. auch: Quarterly Journal XIV, 1870, S. 340–53).
“Extrait d'une lettre à M. Laguerre”; Bull. de la soc. Math. de France, t. VII, 1879; S. 105.
Mém. des Sav. Etrang., vol. 28, 1883–84. Die Invarianten einer linearen Differentialgleichung 4ter Ordnung hat Halphen auch in einer weiteren Abhandlung (Acta Math. III, 1883; S. 321–80) eingehend untersucht.
Compt. Rend., t, 81, 1875; S. 1053; Liouv. Journ., ser. III, vol. 2, 1876; vgl. insbes. S. 386; sowie auch die:Thèse sur les invariants différentiels des courbes gauches (Paris, 1878).
Phil. Trans., vol. 179 (1888), S. 377–489.
Acta Math., vol. 14 (1889), S. 233–248.
Crelle's Journ., t. 111 (1893), S. 290–302.
A. a. O. Crelle's Journ., t. 111 (1893), S. 392 u. ff.
Ludw. Schlesinger:Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), S. 191. Dabei wird insbesondere auch der Fall berücksichtigt, dass in den beiden Differentialgleichungen (A) und (B) die Coefficienten der zweiten Glieder verschwinden (p 1=q 1=0). In diesem, Falle wird die erforderliche Transformation (1) durch die Function χ bereits eindeutig bestimmt.
Appell hat auch die Frage behandelt, welche Differentialgleichungen bei (nicht identischen) Transformationen der Gestalt (1) in sich selbst übergehen (Acta Math., Bd. 15, 1891; S. 281 u. ff.). Dabei ergab sich, dass derartige Differentialgleichungen sich stets auf Gleichungen mit constanten Coefficienten zurückführen lassen.
Noether: “Sophus Lie”, Math. Ann. Bd. 53, S. 33 ff.
Ludw. Schlesinger:a. a. O., S. 288, Bd. II, S. 147–48.
Picard: Compt. Rend. de l'Ac. de Sc., t. 96 (1883); t. 119 (1894); t. 121 (1895); Ann. de la Fac. de Sc. de Toulouse, t.1 (1887); “Traité d'Analyse” vol. III, chap. 17 (1896). Vessiot:Sur l'intégration des équations différentielles linéaires; Ann. de l'Ec. Norm. Sup., t. 9 (1892), S. 231. Man vergl. auch Schlesinger: a. a. OHandbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (1897), S. 71. — Die Bezeichnung “Rationalitätsgruppe” ist von Herrn Klein eingeführt worden.
Schlesinger:a. a. O.,, Bd. II, (Leipzig, 1897), S. 74.
Schlesinger:a. a. O.,, Bd. II, (Leipzig, 1897), S. 77, 94.
Vessiot,a. a. O., S. 235, 241; Schlesinger, a. a. O.Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), S. 82.
Vessiot,a. a. O., S. 338-39, 203 ff.; Schlesinger, a. a. O.,Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), S. 83.
Unter einer “algebraisch integrirbaren” Differentialgleichung verstehen wir keineswegs eine Differentialgleichung, deren Lösungen “algebraische Functionen der unabhängig Variablenx» sind; sondern eine, deren Lösungen sich durch Auflösung algebraischer Gleichungen mit dem gegebenen Rationalitätsbereiche angehörigen Coefficienten ergeben. — Die Frage nach den algebraisch integrirbaren linearen Differentialgleichungenn ter Ordnung hängt folglich mit derjenigen nach denendlichen Gruppen linearer Transformationen von n Veränderlichen ganz eng zusammen: “Jeder endlichen (discontinuirlichen) Gruppe linearer Transformationen entspricht eine ganze Classe algebraisch integrirbarer linearer Differentialgleichungen” (Klein:Einleitung in die höhere Geometrie, II; autogr. Vorl., Göttingen 1893, S. 361). Fürn=2 giebt es keine anderen derartigen Gruppen, als die wohlbekannten Fälle der “regulären Körper». Fürn>3 hat C. Jordan (Crelle's Journal, Bd. 84; Atti della R. Acc. di Napoli, VIII, 1879–80) einen allgemeinen Ansatz aufgestellt, und dadurch den Fall dreier homogener Veränderlichen eingehend untersucht, und denjenigen von vier Veränderlichen zugleich auch begonnen. Doch übersah er fürn=3 die einfachenG 168 undG 360 von Collineationen in der Ebene, deren erstere durch Klein aus der Transformation 7ter Ordnung der elliptischen Functionen abgeleitet (Erlang. Ber. 1878; Math. Ann. 14) und die zweite erst durch Valentiner (Kjöb. Skr 1889) aufgestellt wurde.
Vessiot:a. a. O., S. 241, Schlesinger: a. a. O.,Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), Nr. 156, S. 87 ff.
Theorie der Transformationsgruppen; Bd. I, S. 265; Bd. III, S. 679–81. DenBegriff einer integrablen Gruppe führte aber Lie bereits 1874 ein (Christiania Forhandl.).
Lie: a. a. O., Bd. I, S. 589.
Schlesinger:a. a. O.,, S. 89–90.
Vessiot:a. a. O., S. 243; Schlesinger, a. a. O.Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), S. 90. Selbstverständlich kann in diesem Falle auch nicht von Integration durch algebraische Operationenund Quadraturen die Rede sein.
Crelle's Journal, Bd. 76, 80.
Man vergl. hierüber Beke:Die Irreductibilität der linearen homogenen Differentialgleichungen; Math. Ann. Bd. 45, 1894.
Schlesinger:a. a. O.,, Bd. I, (Leipzig, 1897), S. 85.
Halten wir dagegen an der functionentheoretischen Definition der Irreducibilität fest, die Herr Frobenius gegeben hat, so tritt an Stelle der Rationalitätsgruppe die “Monodromiegruppe” (vgl. Nr. 7) auf. Den bez. Satz hat Herr Jordan aufgestellt (Bull. de la Soc. Math. de France, t. 2, S. 102 ff.), und zwar als von der Rationalitätsgruppe überhaupt noch nicht die Rede war.
Beke:a. a. O.,, S. 279–80.
Schlesinger:a. a. O.,, S. 127.
Beke,a. a. O. S. 281 ff.; Schlesinger, a. a. O.Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), Bd. II, Nr. 176.
Der Begriff der associirten Differentialgleichung geht auf Forsyth zurück (Phil. Trans., 179, S. 420 ff.). Man vergl. auch Craig:A treatise on linear differential equations; New-York 1889; Schlesinger, a. a. O.,Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), Bd. II, S. 125 ff.
Schlesinger:a. a. O.; S 102. Diese Gruppe ist stetsabzählbar, wenn sich das von den regulären Stellen der Functioneny i (x) in derx-Ebene gebildete Continuum durch eine abzählbare Menge von Querschnitten in ein einfach zusammenhängendes Gebiet verwandeln lässt (Schlesinger, a. a. O.,Handbuch der Theorie der linearen Differential-gleichungen, Bd. II (Leipzig, 1897), Bd. II, S. 10).
Lie:Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I, Cap. 17, S. 292.
Schlesinger:a. a. O.,, S. 148.
Engel:Kleinere Beiträge zur Gruppentheorie II; Leipziger Ber., 1887. Man vergl. auch Lie:Theorie der Transformationsgruppen; Bd. III, S. 757.
D. h. eine Gruppe, welche mit der projectiven Gesammtgruppe eines einförmigen Gebildes gleich zusammengesetzt (holoedrisch isomorph) ist.
Dieses Resultat verdanken wir Herrn Study. Vgl. Lie, a. a. O.,Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I, Cap. 17, S. 785, sowie auch diese Abh., Nr. 15.
Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc., t. 70 (1870). Vgl. auch den Aufsatz:Ueber diejenigen ebenen Curven...; Math. Ann. Bd. 4 (1871).
Schwarz: Crelle's Journal, Bd. 87 (1879); Klein: in einem Briefe an Herrn Poincaré (man vgl. eine Arbeit des Letzteren in den Acta Math., Bd.7, 1884; S. 16); Noether: Math. Ann., Bd. 20, 21 (1882–83).
Segre: Math. Ann., Bd. 27, S. 297; Klein: Abhandl. der K. Sächs. Ges. d. Wiss., Bd. 13 (1885); Klein-Fricke:Vorlesungen über elliptische Modulfunctionen. Bd. II, S. 242.
Man vgl. Loria: Giornale di Matem., t. 26 (1888), sowie auch Arbeiten von Cayley, Cremona, Bertini,...
Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, S. 190 ff.
Atti del R. Ist. Veneto, ser. 75, t. IV, V (1893–94).
Rend. della R. Acc. dei Lincei, 10 sem. 1895.
D. h eine Gruppe, bei welcher zwei Punkte allgemeiner Lage der vorgelegten Fläche stets in einander übergehen können.
Mem. della R. Acc. di Torino, ser 28, t. 46 (1895–96).
Atti del R. Ist. Veneto, ser. 75, t. VII (1896).
Man vgl. beispielsweise Schlesinger,a. a. O. S. 114.
Vgl. Segre:Studio sulle quadriche in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni; Mem. della R. Acc. di Torino, ser. 2a, t. 34 (1884); § 2.
Dieser Satz wurde zuerst durch Herrn G. Wallenberg gegeben (Anwendungen der Theorie der Differentialinvarianten... Crelle's Journal, Bd. 113 (1893): p. 14–15).
Schlesinger,a. a. O., S. 203. Dabei ist aber\(p_2 = \frac{{n + 1}}{3}s\).
Les équations différentielles linéaires et la théorie des groupes; Ann. de la Fac. d. Sc. de Toulouse, XII (1898); S. 69 ff., 84 ff.
Sulle equazioni differenziali lineari del 5° ordine le cui curve integrali sono contenute in una varietà algebrica; Rend. del R. Ist. Lomb. ser. 2a, XXXII (1899): Nr. 4.
Von diesem Standpunkte aus hat Goursat (Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc., t. 100 (1884), S. 233) den Falln=4,k=1 untersucht, und zugleich auch, für ein beliebigesn, den Fallk=n-3 in's Auge gefasst (d. h. den Fall einer einzigen Gleichung zwischen denz i deren linke Seite mit der Discriminante einer binären Form (n-1)ten Grades zusammenfällt). Eine ganz verschiedene Behandlung des Fallesn=4,k=1 (welche auf höhere Werthe vonn nicht übertragbar zu sein scheint) hat Ludw. Schlesinger gegeben (Diss. Berlin, S. 30 ff;Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. II, S. 240 ff.).
Lie:Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, S. 785. Dieser Satz stammt aber, wie bereits erwähnt wurde, aus Untersuchungen von Study.
Man vgl. hierüber meine Abhandl:Sulle varietà algebriche con un gruppo continuo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè (Mem. della R. Acc. di Torino, ser. 2a, t. 46; 1895–96).
Man vgl. das Beispieln=5,q 1=1,q 2=2 in Nr. 5 meines Aufsatzes:Sulle equazioni differenziali lineari del 5° ordine... (Rend. del. R. Ist. Lomb., ser. II, t. XXXII, 1899).
Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc., t. 97 (1883), S. 31; Bull. de la Soc. Math. de Fr., t. 11 (1882–83).
Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc. t. 101 (1885), S. 663.
Sulle equazioni differenziali lineari del 5° e del 6° ordine... (Atti della R. Acc. di Torino, vol. 34, 1898–99).
Lie:Theorie der Transformationsgruppen, III. Bd., Cap. 9, Satz 5.
Man vgl. die bereits erwähnten Arbeiten Goursat's, sowie auch Schlesinger's Dissertation, S. 26 ff., und “Handbuch”, S. 234 ff.; Fano: Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1. Sem 1895, S. 298.
Man vgl. beisp. Schlesinger's “Handbuch”: Bd. II, S. 145.
Acta Math., Bd. III (1883), S. 321–380; man vgl. insbes. S. 344 ff.
Halphen:Sur les formes quadratiques dans la théorie des équations differentielles linéaires. (Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc., t. 101 (1885), S. 665).
Man vgl. die bereits erwähnte Arbeit Segre's:Studio sulle quadriche..., § 3.
Ebenda, Man vgl. die bereits erwähnte Arbeit Segre's:Studio sulle quadriche..., § 4.
Klein:Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie (Math. Ann. Bd. 5, 1872).
Lie:Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I, S. 560; Bd. II, S. 460; Bd III, S. 357.
Die Auseinandersetzungen der folgenden Nr. bis Nr. 26 inclusive sind, in etwas verschiedener Anordnung, auch in meinem bereits erwähnten Aufsatze:Sulle equazioni differenziali lineari del 5° e del 6° ordine... (Atti della R. Acc. di Torino, vol. 34, 1898–99) zu finden.
Man vgl. beispw. Schlesinger's “Handbuch”, Bd. II, S. 130.
Acta Math., Bd. III (1965); S. 221–90.
Acta Math., Bd. 14 (1890–91), S. 237.
Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugelcomplexe...; Math. Annalen, Bd. 5 (1872), S. 179.
Man vgl. beispielsw. Voss:Zur Theorie der windschiefen Flächen. Math. Ann. Bd. 8, 1875, S. 78–79).
Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc. t. 101 (1885); S. 664-66.
Diese lineare Differentialgleichung 2ter Ordnung ist bekanntlich auch auf eine Riccati'sche Gleichung nebst einer Quadratur und einer Quadratwurzel zurückführbar. Die entsprechende Riccati'sche Gleichung hat, für ein allgemeines System von Liniencoordinaten, Herr Voss ausgerechnet, (Ueber die Haupttangentencurven der windschiefen Flächen; Math. Ann., Bd. 12, 1877; S. 491 ff.; und für dieselbe hat er Coefficienten gefunden, deren logarithmische Ableitungen in unserem Falle rational bekannte Functionen sein würden.
Dabei wird sich zugleich ergeben, dass Halphen's lineare Differentialgleichung 2ter Ordnungüberflüssig ist, wie schon längst Lie aus gruppentheoretischen Gründen behauptet hat (vgl. Nr. 16).
Archiv for Math., Bd. 10, S. 413 (1885);Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, S. 357.
Werner: Dissert. Leipzig, 1889; Math. Ann., Bd. 35, S. 113-60; Lie;Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, S. 809.
Vgl. auch Lie: “Die linearen homogenen gewöhnlichen Differentialgleichungen” (Leipz. Ber., 1891; S. 268).
Man vgl. Schlesinger's “Handbuch” Bd. II, S. 120, 124.
Schlesinger:a. a. O., S. 62–65.
Man vgl hierüber meinen Aufsatz:Sulle equazioni differenziali lineari che appartengono alla stessa specie delle loro aggiunte (Atti della R. Acc. di Torino, vol. XXXIV, 1899).
Diesen Satz hat bereits Halphen ausgesprochen, (Compt. Rend. de l'Ac. d. Sc., t. 101, 1885; S. 666) doch ohne zu bemerken, dass, falls die Discriminante vonf verschwindet, eine gewisse Aenderung erforderlich ist.
Sur l'équation adjointe et sur certains systèmes d'équations différentielles (Ann. de l'Éc. Norm. Sup., t. 9, 1892; S. 72ff.). Man vgl. auch Darboux:Théorie génerale des surfaces; Livr. IV, Chap. V.—Für ein geradesn giebt es dagegen auf einer nicht ausgeartetenM 2n−2 keine anderen asymptotischen Linien—d. h. derartige Linien, dass jederR n−2 durchn−1 aufeinander folgende Punkte derselben die MannigfaltigkeitM 2n−2 an der betreffenden Stelle berührt — als diejenigen, welche in einem dieser Mannigfaltigkeit angehörigenR n−2/2 enthalten sind (beispielsw. fürn=4 die Erzeugenden der vorgelegten Fläche 2ten Grades).— Und für lineare Differentialgleichungen von gerader Ordnungn, welche mit ihren Adjungirten zusammenfallen, tritt an Stelle einer quadratischen, d. h. einerbilinearen symmetrischen Form, einebilineare alternirende (invariante) Form auf: an Stelle einer quadratischen MannigfaltigkeitM 2n−2 also ein nicht ausgearteter linearer Complex.
Man vgl. meinen Aufsatz:Osservazioni sopra alcune equazioni differenziali lineari (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 10 Sem. 1899).
Dies folgt unmittelbar aus den in Nr. 9, III erwähnten Untersuchungen von Lie und Enriques.
Rend. del. R. Ist. Lomb., ser. 2a, t. 32; 1899.
Es giebt allerdings inR 4 noch andere nicht-integrable projectiveQ 3; doch sind bei derselben nur Mannigfaltigkeiten invariant, welche noch weitere projective Transformationen zulassen. Man vgl. hierüber meine Abhandlung:Sulle varier algebriche con un gruppo continuo non integrabile di trasformazioni proiettive in se (Mem. della R. Acc. di Torino, ser. II, t. 46; 1895-96).
Man vgl. darüber meinen Aufsatz in den “Rendiconti dell' Istitituto Lombardo”, s. II, t. 32 (1899); Nr. 5.
Man vgl. hierüber meinen erwähnten Aufsatz in den “Rendiconti dell' Istituto Lombardo” d. J., Nr. 6. In allen bisher betrachteten Fällen (denjenigen der algebraischen Integralcurve ausgeschlossen) bleibt das gefundene Resultat offenbar auch dann gültig, falls wir nur voraussetzen, dass die Rationalitätsgruppe der vorgelegten Differentialgleichung durch die betreffende projective Gruppe desR 4 gedeutet wird.
Wallenberg: Crelle's Journal, t. 113, S. 1–41; Fano: Rend. della R. Acc. dei Lincei. 1. sem. 1895, S. 18–26, 51–57.
Fano:Sulle equazioni differenziali lineari di ordine qualunque, che definiscono curve contenute in superficie algebriche (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1 sem. 1895, S. 329).
Enriques:1 gruppi continui di trasformazioni cremoniane del piano; Sopra un gruppo continuo di trasformazioni di Jonquières del piano (Rend. della R. Ace. dei Lincei, 1. sem. 1893, S. 468 ff.; 532 ff.). Fano:Sulle equazioni differenziali lineari di ordine qualunque... (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1. sem. 1895; S. 325).
Dies ist nämlich nothwendige und hinreichende Bedingung, damit unendlich viele invariante Curven (k−1)ter Ordnung vorhanden seien. Man vgl. meine Abhand.Sulle varietà algebriche.... (Mem. della R. Acc. di Torino, S. II, t. 46, 1895–96), § 4.
Vgl. meinen vorhin erwähnten Aufsatz:Sulle equazioni differenziali lineari di ordine qualunque..., S. 325 ff.
Vgl. meinen Aufsatz:Un teorema sulle varietà algebriche a tre dimensioni con infinite trasformazioni proietive in sè (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1. sem. 1899).
Enriques-Fano:I gruppi continui di trasformazioni cremoniane dello spasio (Ann. di Matem., s. II, t. 26; 1897); Fano:I gruppi di Jonquières generalissati (Mem. della R. Acc. di Torino, s. II, t. 48; 1897–98).
Mem. della R. Acc. di Torino, s. II, t. 48; 1897–98.
In dieser Aufzählung habe ich für 1–5 dieselben Nummern behalten, mit welchen in meinem Aufsatze:Le trasformazioni infinitesime dei gruppi cremoniani tipici dello spazio (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1. sem. 1898) die infinitesimalen Transformationen der entsprechenden Cremona'schen Gruppen desR g bezeichnet wurden. Der jetzige Fall 6 entspricht den Gruppen [6], [7], [8] der genannten Aufzählung; und die Fälle 7–9, 10–11 u. 12 entsprechen bezw. den Gruppen [9]–[11], [13]–[14] u. [15]–[16]. Die Gruppe [12] ist inR g intransitiv und findet hier folglich keine Anwendung.
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Fano, G. Ueber lineare homogene Differentialgleichungen mit algebraischen Relationen zwischen den Fundamentallösungen. Math. Ann. 53, 493–590 (1900). https://doi.org/10.1007/BF01449207
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