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References
G. Doetsch, Integraleigenschaften der Hermiteschen Polynome. Math. Zeitschr.32, (1930), S. 587–599.
Den Ausgangspunkt bildete damals eine partielle Differentialgleichung. —Übrigens hängen die damaligen und die gegenwärtigen Erörterungen vom Standpunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung eng zusammen, denn eine Reibe nach Hermiteschen Funktionen tritt bei der Entwicklung einergeometrischen Verteilung in die Brunssche Reihe auf, die von der Laplaceschen Formel (an Stelle der Poissonschen) ausgeht.
Publiziert bei H. Pollaczek-Geiringer, Über die Poissonsche Verteilung und die Entwicklung wi'lkürlicher Verteilungen. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.8 (1928), S. 292–309 (S. 306, Fußnote).
Ob diese irgendwo explizit bewiesen ist, entzieht sich meiner Kenntnis.
Wollte man die Funktion Φ(x, t) füralle x>x 0 betrachten so müßte man ihren Wert nicht nur fürx 0, sondern in dem Streifenx 0≦x<x0+h vorgeben.
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Doetsch, G. Die in der Statistik seltener Ereignisse auftretenden Charlierschen Polynome und eine damit zusammenhängende Differentialdifferenzengleichung. Math. Ann. 109, 257–266 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449137
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01449137