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Aufbau von Mittelwerten mehrerer Argumente. I

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  3. Solche Beweise stehen u. a. bei: Cauchy, Analyse algébrique, Note II. J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta math.30 (1906), S. 175. G. H. Hardy, Prolegomena to a Chapter on Inequalities, Journ. of Lond. Math. Soc.4 (1929), S. 61. Der Cauchysche Beweis ist auch bei Chajoth (l. c.) wiedergegeben; er besteht aus zwei Induktionen: 1. Induktion vonn=2m aufn′=2m+1; 2. Rückinduktion vonn aufn−1.

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  4. Siehe Jensen,l. c..

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  5. Dann besteht auch: |z 0, μ−y 0, μ|<δ (μ=1, ...,n+1).

  6. Man kann schreiben:M(x 1,x 2)=a 1·min(x 1,x 2)+a 2·max(x 1,x 2), wodurch die Symmetrie augenscheinlich wird.

  7. Ja man kann sogar ein MittelM(x 1,x 2) angeben, welches die viel stärkere Eigenschaft hat, daß für ε>0 stetsM(x 1,x 2+ε)>M(x 1,x 2)+τε gilt mit positivem, vonx 1,x 2 und ε unabhängigen τ, und dessen Obermittel trotzdem nicht streng monoton ist.

  8. l. c.; Jensen beweist den Satz5 für den Spezialfall, daßM undN die arithmetischen Mittel von zwei Argumenten sind.

  9. Für die übrigen Systeme (x 1,x 2,x 3) istM(x 1,x 2,x 3) durch die Symmetrieforderung bestimmt.

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  1. München

    Georg Aumann

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  1. Georg Aumann
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Habilitationsschrift, Technische Hochschule, München 1933.

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Aumann, G. Aufbau von Mittelwerten mehrerer Argumente. I. Math. Ann. 109, 235–253 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449135

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