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References
Als “Theorie” bezeichnen wir hier einen Inbegriff von Axiomen, Beweisregeln und Vorschriften zur Bildung von “sinnvollen” Ausdrücken (man nennt das gewöhnlich ein “system”).-Zum Begriff “(kardinaler) Vollständigkeitsgrad” vgl. A. Tarski, Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften. Monatsh. f. Math. u. Phys.37, 2. Heft, § 8. Zu den Begriffen “engerer Funktionenkalkül” (nachstehend schlechthin als “Funktionenkalkül” bezeichnet) sowie “erweiterter Funktionenkalkül” siehe D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik (insbesondere Kap. 3 und 4), in der Folge mit H.-A. bezeichnet.-Vorliegende Abhandlung schließt sich im allgemeinen an die Ausdrucksweise von H.-A. an.-Die Theorie von K. Gödel findet sich in seiner Abhandlung: Über unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatsh. f. Math. u. Phys.38, 1. Heft.
Vgl. die zitierte Abhandlung von K. Gödel, insbesondere S. 187, Satz VI.
Diese Ausdrücke bauen sich aus Aussagevariablen:X, Y. Z, ..., Funktionsvariablen:F, G, H ... (mit beliebig vielen Leerstellen) und Individuenvariablen:x, y, z, t, u, v, w, ... vermittels der Negation, Disjunktion und der Vorsetzung von All-und Seinszeichen(x), (y), ... (E x), (E y), ... auf.
Zwei logische Ausdrücke sehen wir nur dann als verschieden an, wenn sie nicht auseinander durch Variablenumbenennung entstehen.
V bindet stärker als & und & stärker als → und ∼.
Das heißt, die bezüglichenp-Ausdrücke sind mit den entsprechenden arithmetischen Ausdrücken im Bereiche der natürlichen Zahlen äquivalent. Wir gehen bei diesen Definitionen von unseren Grundfunktionen Seq (x, y) und Mult (x, y) aus, die wir der größeren Anschaulichkeit halber durch die mit ihnen bzw. gleichbedeutenden arithmetischen Ausdrückey=x=1 sowiey=p x ersetzen.
Man beweist ohne Schwierigkeit, daß aus einer natürlichen Zahly durch Wiederholung der Operationen der Addition von 1 und-1 sowie der Multiplikation durchp und 1/p nur derartige natürliche Zahlen zu gewinnen sind, die sich durcha y+b darstellen lassen, woa undb die soeben beschriebenen Werte annehmen.
Das Zeichen ≠ bedeutet hier wie gewöhnlich die Verneinung der Gleichheit.
Es werden hier Disjunktionen und Konjunktionen mit beliebig viel Gliedern (auch einem einzigen) zugelassen. In H.-A. werden derartige Disjunktionen und Konjunktionen als Produkte bzw. Summen bezeichnet.
Gebundene Variable, die in Grundausdrücken vorkommen, wenn man sie durch ihre Bedeutung aus Definition 8 ersetzt, werden außer Acht gelassen.
Vgl.: Videnskapselskapets Skrifter, I, Math.-nat. Kl. 1919, Nr. 3. Th. Skolem, Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über Produktations-und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen. Annals of Mathematics (2)28 (1926–27) C.H. Langford, Some Theorems on Deducibility, S. 16; Theorems on Deducibility (Second paper), S. 459.-Sehe auch M. Presburger, Über die Vollständigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer Zahlen usf., C. R. du Congrès des Math. des Pays Slaves, Varsovie 1929.
Ich bediene mich hier, wie auch oft im folgenden, einer gemeinverständlichen logisch-mathematischen Symbolik, wobei die Buchstabeni, j, k, l, x, y, z, t stets als Variable für natürliche Zahlen gebraucht werden.
Mit [f i] bezeichnen wir eine Folge, deren Gliederf 1,f 2 usw. sind; analog ist im folgenden [g i] zu deuten.
Die Ausführung dieser Operation ist damit gleichbedeutend, daß wirx=c für falsch erklären.
Vgl. H.-A. Kap. 4. Dieser Kalkül ist im wesentlichen mit der Logik der Principia Mathematica, unter Ausschaltung des Unendlichkeitsaxioms identisch, wobei dem “axiom of reducibility” das “Axiom der Reduzierbarkeit” entspricht.
Herr Gödel benutzt das Folgezeichen ⊃, wir werden aber der Bequemlichkeit halber im folgenden annehmen, daß die logischen Verknüpfungen vonP mit denjenigen von H.-A. übereinstimmen;Q enthält dann alle Formeln, die aus richtigen Ausdrücken des Aussagenkalküls von H.-A. durch Einsetzung von Formeln für die Variablen hervorgeben. — Die Einsetzungsregel wird dadurch überflüssig, daß Gödel alle möglichen Einsetzungen bereits in den Axiomen selbst vornimmt.
Vgl. zu diesem sowie zu dem nächsten Satze: J. Herbrand, Recherches sur la théorie de la démonstration S. 61–62, Travaux de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Cl. III, 1930.
Vgl. A. Fraenkel, Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre, Wissensch. u. Hyp., Bd. XXXI. J. v. Neumann, Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Zeitschr.27 (1928); Journ. f. reine u. angew. Math.154 (1925),160 (1929).
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Wajsberg, M. Beitrag zur Metamathematik. Math. Ann. 109, 200–229 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449133
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